Lógica Matematica

Competencia específica a desarrollar: Analizar y resolver problemas computacionales utilizando las técnicas básicas de lógica e inducción matemática

3.1 Lógica proposicional.

Lo más importante en matemáticas y computación es conocer la veracidad de una aseveración.

La palabra lógica viene del griego y significa, razón, tratado o ciencia. Y en computación es la ciencia que estudia la forma de razonar correctamente, la que nos indica la forma correcta de obtener conclusiones y los métodos conocidos para lograrlo.

La lógica como cualquier ciencia y como la filosofía busca la verdad y es la que establece las reglas para hacer un razonamiento correcto. Aquí debemos distinguir entre pensamiento correcto y verdadero, la lógica proporciona una herramienta para saber si un desarrollo es correcto, pero la veracidad del mismo dependerá de las premisas o sea las condiciones de las que se parte.

Por ejemplo, si el maestro dice que todos los alumnos que traigan la tarea tendrán un punto extra en el examen. Si Juan me dice que llevó la tarea se puede concluir correctamente que obtuvo un punto más. Este es un razonamiento correcto, sin embargo la veracidad de la conclusión depende de la veracidad de las dos premisas. Si por ejemplo Juan me dijo mentiras y no entregó la tarea, ya no podemos estar seguros de que la conclusión es verdad. Lo mismo sucede si el maestro no cumple su promesa y cambia de opinión acerca de subir un punto, o si el maestro no ha estudiado lógica.

Resumiendo: Si las condiciones dadas (premisas) son verdaderas, la lógica nos enseña métodos de razonamiento o inferencia correctos para saber en qué casos la conclusión es también verdadera.

La Lógica es importante para los estudiantes de computación primeramente porque proporciona una forma de saber si un desarrollo es correcto, tanto en matemáticas como en otras materias de ciencias; pero también es importante porque nos presenta el lenguaje de expresiones booleanas que utilizamos en los diferentes lenguajes de Programación, en Bases de Datos, y cualquier otra materia de computación que utilice conceptos lógicos.

3.1.1 Concepto de proposición

En computación frecuentemente se usan estructuras que dependen solamente de dos valores, así por ejemplo tenemos el sistema numérico binario que se utiliza para representar los números utilizando solamente 0 y 1.

El trabajar con sólo 2 opciones facilita la implementación de los conceptos y simplifica su manejo. Así una teoría resulta mucho más fácil de establecer y de justificar si tiene sólo dos valores asociados, que otra por ejemplo una estructura de álgebra de números que tiene una cantidad infinita.

Otro tipo de entes que se utilizan en computación que también está asociado a “dos” opciones, es lo que se conoce como expresiones booleanas. Estas expresiones, que deben su nombre a George Boole, se pueden ver caracterizadas como verdaderas ó falsas y de acuerdo a esta condición se desarrolla el estudio sobre dichos conceptos. Este tema se conoce como cálculo de proposiciones.

Los argumentos son una de las formas más comunes en matemáticas, en lógica y en computación de establecer razonamientos para llegar a la verdad. Si tenemos un conectivo lógico OR de dos valores de entrada y después un inversor, cuál es la salida. O si en un programa con una instrucción tipo if se tiene la condición X > 3 and X < 10 cómo se sabe si se ejecutó el comando.

Podemos tener también situaciones como:

Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre.

Por lo tanto: Sócrates es mortal.

Si lo comparamos con:

Todos lo árboles son verdes.

Todos lo pericos son verdes.

Por lo tanto: Todos los árboles son pericos.

Una pregunta importante es, ¿cómo saber si un razonamiento es válido? En general, la lógica proporciona los métodos para saber si un argumento es correcto y poder obtener conclusiones.

Un argumento es un conjunto de premisas, condiciones dadas, junto con una conclusión. Y decimos que un argumento es válido si la conclusión es verdadera siempre que las premisas lo son.

Uno de los principales propósitos de la lógica es por lo tanto encontrar la forma de poder saber si un argumento es válido o no. A esto le llamamos inferencia y está en la sección de Reglas de Inferencia.

Antes de poder decidir un argumento es válido o no, debemos de empezar por estudiar sus componentes, los elementos más simples que componen un argumento se llaman elementos atómicos.

Empezaremos por decir que en lógica proposicional utilizaremos dos valores asociados llamados valores de verdad, que son verdadero (V) y falso (F), y en computación a las expresiones que se les asocia uno de estos dos valores se les llama expresiones booleanas.

Los enunciados o expresiones del lenguaje se pueden clasificar en: Proposiciones lógicas, Proposiciones abiertas y Frases o expresiones indeterminadas.

Proposición lógica. Expresiones que pueden ser verdaderas o falsas pero no ambas.

Proposición abierta. Una expresión que contiene una o más variables y al sustituir las variables por valores específicos se obtiene una proposición lógica.

Frases. Todas las expresiones que no cumplen alguna de las dos definiciones anteriores.

Expresiones Booleanas. Proposiciones lógicas y proposiciones abiertas.

Ejemplos

i) México está en América Proposición Lógica

ii) 1 < 2 Proposición Lógica

iii) Hoy es lunes Proposición Abierta

iv) x + 3 = 5 Proposición Abierta

v) Ecosistemas Frase

vi) Buenos días Frase

vii) El 3 de abril de 1970 fue domingo Proposición Lógica

viii) Los cocodrilos pueden volar Proposición Lógica

ix) Las matemáticas son agradables Proposición Abierta

x) Esta expresión es falsa Frase

Combinando dos o más proposiciones se pueden formar expresiones compuestas con los operadores, estos operadores también se llaman conectivos lógicos y se presentan en la siguiente sección.

3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyunción, Conjunción, Negación, Condicional, Bicondicional)

Como se mencionó en el tema de argumentos para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremos por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola.

La Negación

La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y

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