Logica Matematica

INFERENCIAS LOGICAS

Para definir las inferencias lógicas es necesario precisar algunos conceptos tales como razonamiento y demostración.

Razonamiento es el proceso que se realiza para obtener una demostración.

Demostración es el encadenamiento de proposiciones que permiten obtener otra proposición, llamada conclusión, a partir de ciertas proposiciones iniciales supuestas como verdaderas, que reciben el nombre de premisas.

En esta sección se hará un análisis más detallado de la demostración.

Las inferencias lógicas: son las conclusiones que se pueden obtener después de realizar un razonamiento, este razonamiento solamente es verdadero si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Las premisas deben ser verdaderas

2. Durante el proceso de deducción las premisas deben relacionarse sujetas a las leyes de la lógica

Así, el conocimiento obtenido de proposiciones verdaderas preestablecidas (premisas), y aplicando las leyes de la lógica a esas premisas, se denomina conclusión.

A continuación se plantean algunas reglas de inferencia, se propone al estudiante, como ejercicio, probar su validez utilizando las tablas de verdad:

Reglas de inferencia:

A medida que vallas estudiando las reglas de inferencias encontrarás que éstas son usadas continuamente en el lenguaje natural. Las usamos para obtener conclusiones que consideramos normalmente válidas. Lo que haremos ahora, es detenernos a analizar porqué consideramos a estas inferencias válidas, aprenderemos que al construir la tabla de verdad de la inferencia lógica se puede determinar la validez de la misma, a la vez que aprendes a identificar las diferentes inferencias lógicas en los razonamientos que hacemos continuamente.

Poder identificar una inferencia lógica y poder clasificarla como válida o no mediante la construcción de la tabla de verdad te dará las bases para elaborar argumentos sólidos, presentes en todas las actividades académicas ya sea en la elaboración de ensayos o debates, como en las actividades cotidianas.

La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.

En lógica, especialmente en lógica matemática, una regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada conclusión.

Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.

Inductiva (de lo particular a lo general)

Aquí por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusión no necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que concluimos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un amigo, tu todos los días dices mentiras, y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día no dije una sola mentira.

Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar que la conclusión sea verdadera en general.

Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluimos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.

MPP: Modus Ponendo Ponens y MTT: Modus TollendoTollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en matemáticas y computación para hacer comprobaciones y sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada más delante en INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.

Transductiva (de particular a particular o de general a general) con el mismo caso del maestro que llega tarde durante los primeros días y concluimos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluimos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar.

Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

Abductiva es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez.

PRINCIPALES REGLAS DE INFERENCIA

La comprobación de las reglas anteriores es directa y basta hacer una fórmula con la conjunción de las premisas condicional la conclusión y probar que es una tautología, por ejemplo haciendo una tabla y obtener todos los valores verdaderos

MODUS PONENDO PONENS (PP)

En lógica, modus ponendo ponens (en latín, modo que afirmando afirma), también llamado modus ponens y generalmente abreviado MPP o MP, es una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

Si A, entonces B

A

Por lo tanto, B

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría ser:

Si está soleado, entonces es de día.

Está soleado.

Por lo tanto, es de día.

Otro ejemplo sería

Si Javier tiene rabia, es una nube.

Javier tiene rabia.

Por lo tanto, Javier es una nube.

Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:

Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes: Con condicional:

En la axiomatización de la

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