Método de Newton-Raphson

ORGANIZACIÓN DE BACHILLERATO

INTERNACIONAL

Programa del Diploma

Colegio San Ignacio de Recalde

Exploración Matemática

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Título: Método de Newton-Raphson

Alumno: Leonardo Morán

Código: 002624-0015

Convocatoria: Noviembre 2016

LIMA – PERÚ

2016

Método de Newton-Raphson:

En el siglo XVII Newton y Raphson independientemente publicaron sus libros Método de las fluxiones y Aequationum Universalis, respectivamente. Raphson fue el primero en publicar este libro, y posteriormente lo hizo Newton, pero al no ser alguien tan popular como los trabajos de Newton no se le reconoció el planteamiento de este método al inicio, es por ello que comparte el nombre del método con Sir Isaac Newton. Debido a que, ambos de alguna forma se complementan en los ámbitos del algebra y cálculo, en los cuales se basa este método para la iteración de ecuaciones.

Me llamó mucho la atención este método no solo por esa discrepancia sobre a quién otorgarle el crédito por descubrirlo, sino por sus aplicaciones en el hallazgo del valor de una raíz utilizando análisis. A su vez, me parecía interesante y me trajo curiosidad el hecho de emplear un método iterativo, el cual se basa en aproximaciones, para el cálculo de ecuaciones tipo f(x) = 0. Dado a que esto en parte, desafía el hecho de que las matemáticas son exactas, y se buscará apreciar si las aproximaciones que se realizan, son exactas con referencia al valor real. Por su parte, se buscará comprobar y averiguar en qué situaciones se utiliza el método de Newton-Raphson y a la vez es efectivo, en el cálculo. A su vez, busco demostrar que existe una manera de calcular la temperatura teórica de una flama por medio de este método iterativo.

Marco Teórico:

El método de Newton, o también llamado método de Newton-Raphson es un método abierto dado a que no garantiza su convergencia global. Y en lo que se basa para garantizarla es el alcance de un valor inicial lo más cercano posible a la raíz buscada. En la actualidad se conoce el valor de números racionales como  o , sin embargo cuando se presentan numero irracionales como , la manera más sencilla de hallar este valor sería introduciéndolo a la calculadora. No obstante, Newton y Raphson descubrieron este método que también resulta efectivo para las funciones no lineales y el cálculo de estos números irracionales.[pic 2][pic 3][pic 4]

El Método:

 El método de Newton-Raphson parte de una estimación inicial de la solución X0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula:

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A esta se le denomina como fórmula de Newton-Raphson. En la que:

xn -> es el valor que se conoce.

xn+1 -> representa el valor que se busca hallar

f ' denota la derivada de f

n -> Número de iteraciones.

Obtención de la fórmula:

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Se acaba de graficar una ecuación arbitraria en la forma de f(x)=0 (recta roja). En el cual se queda en evidencia el hecho que su raíz es su intercepto con el eje x, por lo cual su raíz se le da el valor de r. Posterior a esto se procederá a tomar un punto que ya se conoce el cual es x1. Después se trazará una recta tangente en ese punto (recta en azul). Se hará un triángulo entre los puntos x2 y x1. [pic 7][pic 8]

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                                                            α[pic 11]

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Se asume que f´(r) ≠ 0, por lo cual no se tendrá problemas frente al hecho de que el denominador sea igual a 0, continuando con este proceso se puede hallar x3 (el cual sería un valor más cercano a r) a través de la ecuación:

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Al estar más cercano al valor de la raíz, se puede señalar que mientras más iteraciones se realicen, mayor cercanía tendrá el valor calculado con el de la raíz. Este proceso se puede repetir infinitas veces, por lo que generará una secuencia de números (xn) los cuales se aproximarán al valor de r. Y terminará mostrando la ecuación que ya conocemos:

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Nota: Mientras más iteraciones se hagan más exacta será la respuesta. Se debe tomar siempre x0 un valor conocido. f (x0). f” (x0)>0. El método de Newton converge siempre que tomemos un x0 lo bastante cercano al valor x de la raíz.

Ejemplo:

Se empleará el método para hallar el valor de x en la ecuación:

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Con el fin, de poder aplicar el método de Newton-Raphson, se colocará la ecuación en la forma f(x)=0, De esta forma:

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Una vez se tenga el valor de la función y su razón de cambio, se reemplazarán estos valores en la ecuación de Newton-Raphson:

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Así como señala la teoría, se debe tomar una aproximación inicial, la cual será basada en qué valor de x, al ser reemplazado en la ecuación otorgue el valor f(x)=0.

Para x=0:

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Para x=1:

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De esta forma para realizar las siguientes aproximaciones, se tomará que x0 = 1.0, y a partir de esto se realizarán las siguientes aproximaciones, dado a que tiene mayor cercanía a 0 que los otros valores. Para que los cálculos sean más prácticos se aproximará la solución a 9 cifras significativas, para que cuando las aproximaciones consecutivas se aproximan coincidan hasta en el decimal 9.

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Ahora se irán reemplazando los xn hasta que el resultado se mantenga constante.

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Tabla 1: Valores obtenidos de X

Una vez, encontrado el valor en el cual las respuestas coinciden se puede apreciar que la solución de x es 0.426302751. Para corroborar si el resultado es correcto, se despejará la incógnita por medio del gráfico de las curvas y = e2x; y = 1/x.  empleando la aplicación de solución numérica gráfica^[1]:

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