MATEMATICAS

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

MATEMÁTICA FINANCIERA II

MSc. Jacqueline Ruiz Salas

TEMA:

Anualidades Vencidas, Fórmula, Gráfico, Valor Presente y Valor Futuro.

ALUMNOS:

CAROLINA LIGER

JESSICA YUPANQUI

JESSENIA GÓMEZ

JONATHAN MÁRMOL

FECHA DE ENTREGA

20/10/2014

ANUALIDADES ANTICIPADAS SIMPLES

Una anualidad anticipada simple es aquella cuyos pagos vencen al inicio de cada uno de los periodos que la componen, siempre y cuando éstos coincidan con los periodos de capitalización de los intereses. Ejemplo de este tipo de anualidad lo constituye el conjunto de 15 depósitos de $3,400.00 a efectuarse a principio de cada mes en una cuenta bancaria que paga intereses a razón del 9% anual convertible mensualmente.

MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE

El monto o valor futuro de una anualidad anticipada simple "S" es el valor de dicha anualidad calculado en su fecha de terminación. Se obtiene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad.

Para deducir una fórmula que permita obtener directamente el monto o valor futuro de una anualidad anticipada simple "S" se suman los montos que acumulan cada uno de los depósitos “R” invertidos a la tasa de interés “i”, desde sus respectivos vencimientos hasta el final de la duración de la anualidad:

Multiplicando ambos miembros por (1+ i ) se tiene:

Restando miembro a miembro las expresiones “B − A “, se obtiene:

Factorizando se tiene:

Despejando a “S” de la expresión anterior, se obtiene la fórmula que permite hallar el monto de una anualidad anticipada simple:

Ejemplo 40

Si en una cuenta bancaria que abona el 10% compuesto trimestralmente se depositan $3,000.00 al inicio de cada trimestre, ¿qué suma se acumulará al cabo de 4½ años?

SOLUCIÓN:

R= $3,000.00 j = 10% m = 4 (trimestral) i = 10 / 4 = 2.5% trimestral t = 4½ años

n = 4.5 × 4 =18 trimestres10 S = ?

Ejemplo 41

¿Cuánto se acumula en 7 meses, si se efectúan depósitos quincenales anticipados de $2,300.00, en una cuenta de ahorros que paga el 12% anual convertible quincenalmente?

SOLUCIÓN:

R= $2,300.00 j = 12% m = 24 i = 12 / 24 = 0.5% quincenal n = 7 × 2 =14 quincenas

S = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [17], se tiene:

VARIACIONES DE ANUALIDADES ANTICIPADAS

CÁLCULO DE LA RENTA

En ocasiones se requiere calcular el valor de la renta o de los depósitos periódicos "R", partiendo de un monto o valor futuro específico de una anualidad anticipada simple "S", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula [17]:

Ejemplo

¿Cuánto debe invertir una persona, al inicio de cada mes, para acumular la suma de $300,000.00 en un plazo de 5 años, si su inversión gana un 13.2% anual compuesto mensualmente?

SOLUCIÓN:

S= $300,000.00 j = 13.2% m = 12 i = 13.2 / 12 = 1.1% mensual n = 5 × 12 = 60 meses

R = ? Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se tiene:

Ejemplo

¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada cuatrimestre durante 6 años para acumular $190,000.00, si la tasa de interés es del 4% cuatrimestral? ¿Qué cantidad de interés se gana?

SOLUCIÓN:

S= $190,000.00 i = 4% cuatrimestral m = 3 n = 6 × 3 = 18 cuatrimestres R = ? I t = ?

a) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [18], se tiene:

b) Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula [3], se tiene:

CÁLCULO DE LA RENTA

En ocasiones se requiere calcular el valor de la renta o de los depósitos periódicos "R", partiendo de un monto o valor futuro específico de una anualidad anticipada simple "S", de una duración "n" y de una tasa de interés por periodo " i ". En tales casos, el cálculo de la renta se realiza con la expresión que resulta al despejar a "R" de la fórmula

¿Cuánto debe invertir una persona, al inicio de cada mes, para acumular la suma de $300,000.00 en un plazo de

5 años, si su inversión gana un 13.2% anual compuesto mensualmente?

SOLUCIÓN:

S= $300,000.00 j = 13.2% m = 12 i = 13.2 / 12 = 1.1% mensual n = 5 × 12 = 60 meses

R = ?

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula, se tiene:

Ejemplo

¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada cuatrimestre durante 6 años para acumular $190,000.00, si la tasa de interés es del 4% cuatrimestral? ¿Qué cantidad de interés se gana?

SOLUCIÓN:

S= $190,000.00 i = 4% cuatrimestral m = 3 n = 6 × 3 = 18 cuatrimestres R =? I =?

CÁLCULO DEL PLAZO O DURACIÓN

Si se conoce el monto "S" de una anualidad anticipada simple, la tasa de interés por periodo " i " y el valor de la

renta "R" , puede calcularse el valor de "n" , o sea, el número total de periodos (o de pagos) de la anualidad, mediante

la expresión que resulta al despejar a "n" de la fórmula

Dado que "n" representa el número total de periodos, por consiguiente si se quisiese el tiempo expresado en años 11 se procedería a dividir el valor obtenido entre la frecuencia de los pagos (o de capitalización de la tasa de interés) "m", o sea, mediante la fórmula

Ejemplo

José Melo efectúa depósitos anticipados mensuales

...