Matemática

Departamento de Matem´aticas

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Antioquia

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c 2008. Reproducci´on permitida bajo los

t´erminos de la licencia de documentaci´on libre GNU.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros naturales

Los n´umeros naturales: Hist´oricamente surgen ante la necesidad de

contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente

hablando los n´umeros naturaless son aquellos que sirven para designar

el n´umero de elementos de um conjunto finito.

N = {0, 1, 2, 3, . . .}Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros naturales

Los n´umeros naturales: Hist´oricamente surgen ante la necesidad de

contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente

hablando los n´umeros naturaless son aquellos que sirven para designar

el n´umero de elementos de um conjunto finito.

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

En N se definen las operaciones de adici´on (+) y multiplicaci´on (·),

estas operaciones poseen las siguientes propiedades:Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros naturales

Los n´umeros naturales: Hist´oricamente surgen ante la necesidad de

contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente

hablando los n´umeros naturaless son aquellos que sirven para designar

el n´umero de elementos de um conjunto finito.

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

En N se definen las operaciones de adici´on (+) y multiplicaci´on (·),

estas operaciones poseen las siguientes propiedades:Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale

x = y

w = z

o

=⇒

x + w = y + z

x · w = y · zLos n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale

x = y

w = z

o

=⇒

x + w = y + z

x · w = y · z

2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale

(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale

x = y

w = z

o

=⇒

x + w = y + z

x · w = y · z

2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale

(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).

3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale

x + y = y + x;

x · y = y · x.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale

x = y

w = z

o

=⇒

x + w = y + z

x · w = y · z

2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale

(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).

3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale

x + y = y + x;

x · y = y · x.

4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que

para cada x ∈ N vale

x + 0 = x = 0 + x;

x · 1 = x = 1 · x.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale

x = y

w = z

o

=⇒

x + w = y + z

x · w = y · z

2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale

(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).

3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale

x + y = y + x;

x · y = y · x.

4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que

para cada x ∈ N vale

x + 0 = x = 0 + x;

x · 1 = x = 1 · x.

5 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale

x · (y + z) = x · y + x · z.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale

x = y

w = z

o

=⇒

x + w = y + z

x · w = y · z

2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale

(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).

3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale

x + y = y + x;

x · y = y · x.

4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que

para cada x ∈ N vale

x + 0 = x = 0 + x;

x · 1 = x = 1 · x.

5 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale

x · (y + z) = x · y + x · z.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros enteros

Los n´umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros naturales.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros enteros

Los n´umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros naturales.

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros enteros

Los n´umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros naturales.

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ ZLos n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros enteros

Los n´umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros naturales.

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ Z

En Z est´an definidas la adici´on + y la multiplicaci´on ·Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros enteros

Los n´umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros naturales.

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ Z

En Z est´an definidas la adici´on + y la multiplicaci´on ·

La adici´on en Z cumple una nueva propiedad (no v´alida en N)Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros enteros

Los n´umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros naturales.

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ Z

En Z est´an definidas la adici´on + y la multiplicaci´on ·

La adici´on en Z cumple una nueva propiedad (no v´alida en N)

1 Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que

x + y = y + x = 0.

El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros enteros

Los n´umeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros naturales.

Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ Z

En Z est´an definidas la adici´on + y la multiplicaci´on ·

La adici´on en Z cumple una nueva propiedad (no v´alida en N)

1 Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que

x + y = y + x = 0.

El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros racionales

Los n´umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros enteros.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros racionales

Los n´umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros enteros.

Q =

nm

n

: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0oLos n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros racionales

Los n´umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros enteros.

Q =

nm

n

: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0o

Z ⊂ QLos n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros racionales

Los n´umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros enteros.

Q =

nm

n

: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0o

Z ⊂ Q

En Q est´an definidas +, · y cumplen una nueva propiedadLos n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros racionales

Los n´umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver

algunas necesidades matem´aticas s´olo con los n´umeros enteros.

Q =

nm

n

: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0o

Z ⊂ Q

En Q est´an definidas +, · y cumplen una nueva propiedad

1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un ´unico y ∈ Q tal que

x + y = y + x = 0.Los n´umeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Los n´umeros racionales

Los n´umeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver

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