Matemáticas

OBJETIVOS

Implementar todos los conocimientos del curso para poder resolver los problemas aplicados en distintas áreas:

 Resolver problemas que involucren anti derivadas empleando técnicas de integración.

 Reconocer a las funciones de varias variables, optimizarlas y descubrir sus aplicaciones.

 Interpretar los conceptos de matemáticas sobre operaciones con matrices, determinantes, matriz inversa y solución de sistemas de ecuaciones lineales.

INTRODUCCIÓN

La integración tiene diversas aplicaciones, por ejemplo: determinar el área entre dos curvas, encontrar la distancia recorrida de una partícula si se conoce la velocidad en cualquier instante o calcular el volumen de un sólido.

En economía se puede obtener el costo a partir de la función de costo marginal, o el ingreso si se conoce la función de ingreso marginal; es decir, si conocemos la función marginal en términos de su variación (razón de cambio), podemos encontrar la función original.

La integración requiere del uso de técnicas para obtener la anti derivada de una función. Dependiendo del tipo de función (compuesta, racional, trigonométrica, etc.), la técnica es diferente: sustitución, por partes, fracciones parciales, etc…

El cálculo integral surgió de la necesidad de resolver problemas relacionados con la obtención del área de figuras planas. Los griegos lo abordaron llegando a fórmulas que permiten calcular el área de polígonos, círculos, etc.

Hacia el siglo XVI de nuestra era, este método fue conocido como método de exhaución o método exhaustivo.

En la actualidad estos conocimientos continúan aplicándose. Gracias a todas estas ideas podemos apreciar el avance tecnológico. Podemos notar el uso y aplicación de estas figuras planas en instrumentos tecnológicos muy avanzados que les permiten a los seres humanos tener un mejor y más avanzado sistema de comunicación. Tal es el caso de los satélites y las antenas parabólicas.

Actualmente comprender en forma adecuada el espacio tridimensional permite crear imágenes cada vez más realistas. Éstas reemplazan a las fotografías de los productos en catálogos de venta y a los planos y maquetas en el proceso de diseño. Los dibujos de hoy en día se hacen en la computadora y se muestran con un grado de precisión insuperable de objetos en diferentes condiciones de iluminación y vistas. Esto hace más fácil perfeccionar cualquier proyecto.

La realidad virtual tiene, hoy en día, múltiples aplicaciones. Una de ellas es la simulación científica para crear espacios arquitectónicos. Estos aspectos de la simulación y la realidad virtual surgen de la comprensión, al espacio tridimensional en donde se ven implicadas varias variables.

Otro concepto es el de matriz, las matrices son tablas de números formando renglones y columnas y tienen múltiples aplicaciones en distintas áreas del conocimiento, como: estadística, mecánica, física, economía, álgebra lineal, investigación de operaciones, entre otras.

Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen en geometría, estadística, economía, informática, física, mecánica, álgebra lineal, circuitos eléctricos, entre otras.

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación. La mayoría de los datos se introducen en los ordenadores en forma de tablas organizadas en filas y columnas, hojas de cálculo y bases de datos, entre otros.

DESARROLLO DEL PROYECTO

1. La transformada de Laplace de una función f(t) definida para toda t>0, se define como , si la integral impropia existe. La transformada se aplica para resolver ecuaciones diferenciales. Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a)

∞

F(s) = ∫ e-st f(t) dt

0

∞ n ∞ ∞

F(s) = ∫ e-st . t2 dt = lim ∫ e-st t2 dt = lim - t2 e-st + 2/s ∫ t e-st dt

0 n → ∞ 0 n → ∞ s 0 0

F(s) = 2! = 2

s2+1 s3

b)

∞ ∞ ∞

F(s) = ∫ e-st . cos(at) dt = 1 e-st sen at + s ∫ e-st sen at dt = s ɀ sen at

0 a 0 a 0 a

= s

s2 + a2

c)

∞ ∞ ∞

F(s) = ∫ e-st eat dt = ∫ e(a-s)t dt = lim e(a-s)t = 1

0 0 n → ∞ a-s 0 s-a

2. El ingreso marginal de una compañía que fabrica x televisores por semana está dado por donde f(x) representa el ingreso en miles de pesos. Encuentre la ecuación para f(x) y determina el ingreso cuando se fabrican 500 televisores.

f’(x) = 5 (x + 4)

x2 + 4x + 3

Aplicando Integral:

f(x) = ∫ f’(x) dx = ∫ 5 (x + 4) dx = ∫ 5x + 20 dx

(x2 + 4x + 3) (x+3)(x+1)

Por fracciones parciales

5x + 20 = A + B

(x+3)(x+1) (x+3) (x+1)

5x + 20 = A (x+1) + B (x+3)

5x + 20 = Ax + Bx + A + 3B

5x + 20 = (A+B)x + (A + 3B)

5 = A + B (1)

20 = A + 3B (2)

De (1): A = 5 – B

En (2): 20 = 5 – B + 3B

20 – 5 = 2B

B = 15/2

A = -5/2

f(x) = -5 ∫ 1 + 15 ∫ 1

2 x+3 2 x+1

f(x) = -5 ln (x+3) + 15 ln (x+1)

2 2

Evaluando 500 televisores:

f(500) = -5 ln (503) + 15 ln (501)

2 2

f(500) = 31.07

f(500) ≈ 31

El ingreso al fabricar 500 televisores es de aproximadamente $31,000

3. El ingreso anual por turismo en la ciudad de México es de $100 millones. Aproximadamente 75% de ese ingreso se reinvierte en la ciudad, y

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