Polinomios de Legendre

OBJETIVOS

• Objetivo general

Encontrar la utilidad del método de cuadratura gaussiana en la Ingeniería, primordialmente en la Ingeniería Electrónica y Eléctrica.

• Objetivos específicos

1. Definir el método de cuadratura Gaussiana para 2 variables.
2. Definir el método de cuadratura Gaussiana para 3 variables.
3. Establecer las condiciones para utilizar los polinomios de Legendre.

RESOLUCIÓN

La función principal de la cuadratura gaussiana es definir una integral cambiando su intervalo [a,b] a un intervalo de [-1,1], con la siguiente aproximación:

[pic 1]

Una aplicación del método es en una integral sencilla, para la resolución de f(x)=x3+2x2 de 1 a 5 cuando n=2. El resultado exacto de la operación es 238.66667.

Utilizando cuadratura Gaussiana:

[pic 2]

[pic 3]

Con n=2 podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)

[pic 4]

Cuadratura de Gauss-Legendre:

El principal objetivo de la cuadratura Gauss-Legendre es determinar las abscisas x1 y x2 y dos coeficientes w1 y w2 de manera que la formula queda:

[pic 5]

Se obtienen asimismo 4 condiciones de integración debido a que se intentará encontrar el valor de 4 números. Dichas condiciones quedan de a siguiente manera:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Se obtendrá entonces un sistema de ecuaciones a resolver que es el siguiente:

[pic 10]

Dicho sistema tiene por solución w1=w2=1 y x1=-1/ y x2=1/. Por lo tanto si f es continua en el intervalo de [-1,1] resulta que:[pic 11][pic 12]

[pic 13]

La cuadratura de Gauss - Legendre con dos nodos G2(f) tiene grado de precisión n=3 y si f Є C4[-1;1], entonces:

[pic 14]

[pic 15]

Donde :

Cuadratura de Gauss-Legendre con mas puntos:

Una expresión general para más puntos es la siguiente

[pic 16]

donde n es la cantidad de nodos que se toma. Los nodos xn,k y los pesos wn,k que hay que usar, en cada caso, se encuentran tabulados. En la siguiente tabla, se muestran los valores correspondientes para las cuadraturas de Gauss - Legendre con hasta cinco nodos, así como la forma de los términos de error En(f) correspondientes a las aproximaciones:

[pic 17]

A continuación se presentan los valores de los coeficientes para el polinomio de Legendre hasta un valor de n=5

[pic 18]

Aplicación de la cuadratura de Gauss-Legendre para determinar el flujo eléctrico que pasa por una superficie:

El flujo eléctrico es una cantidad escalar que expresa una medida del campo eléctrico que atraviesa una determinada superficie, asimismo, es la medida del numero de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie.

El flujo eléctrico viene dado la siguiente ecuación:

[pic 19]

Donde E es el campo eléctrico que pasa a traves de la superficie y Ds es el área superficial de dicha superficie.

De lo anterior se desea analizar una superficie que posee un Ds=4πr^2 en el intervalo de -1 y por la cual atraviesa un campo eléctrico constante con un valor de 10 V/m[pic 20]

Para aproximar el valor de este flujo se utilizará la aproximación de una superficie gaussiana, con un polinomio de Legendre de tercer grado, para el cual se sabe que los valores de los coeficientes son los siguientes:

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