Programa ecuaciones diferenciales.

PROGRAMA DE ASIGNATURA

ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Identificación

1. Objetivos Generales y Específicos

El curso tiene como objetivo que el estudiante reconozca, analice y resuelva ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales utilizando diferentes métodos. Además, debe estar en condiciones de traducir o modelar en un lenguaje de ecuaciones diferenciales, los problemas elementales de diferentes campos de la Física y la Ingeniería. Para esto, el estudiante deberá:

• Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
• Utilizar diferentes métodos para resolver ecuaciones lineales de orden n y sistemas de ecuaciones lineales, en ambos casos, de los dos tipos: homogéneas y no homogéneas.
• Aplicar el Método de Transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con valores iníciales o condiciones de borde.
• Analizar en forma cualitativa el comportamiento de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.
• Expresar funciones periódicas mediante Series de Fourier.
• Aplicar el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales parciales sencillas.

1. Descripción de Contenidos

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden (6 sesiones)

1. Definición de ecuación diferencial ordinaria. Problema del valor inicial. Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos.
2. Orden y grado de una ecuación diferencial. Solución de una ecuación diferencial. Observaciones sobre existencia y unicidad.
3. Ecuaciones de primer orden.  Solución General, Solución Particular.
4. Métodos de solución: Separación de variables, Ecuaciones Homogéneas, Factor  Integrante, Ecuación Lineal de Primer Orden. Ecuación de Bernouilli.
5. Ecuaciones diferenciales de segundo orden fáciles de resolver. Uso de sustituciones.  Reducción del orden de una ecuación.

1. Aplicaciones de ecuaciones de primer orden: trayectorias ortogonales, crecimiento exponencial, modelo logístico, circuitos eléctricos, mezclas químicas.

1. Ecuaciones diferenciales de orden superior (8 sesiones)

1. Ecuaciones diferenciales de orden n. Problemas de valor inicial y de valores en la frontera.
2. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Soluciones linealmente independientes.
3. Ecuaciones lineales de orden n no homogéneas. Métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros.
4. La ecuación diferencial de Cauchy-Euler.
5. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Método de eliminación. Uso de operadores.
6. Sistemas lineales homogéneos. Método de valores propios.
7. Sistemas lineales no homogéneos. Métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros.

1. Transformada de Laplace (6 sesiones)

1. Definición de transformada de Laplace. Propiedades de la transformada de Laplace y tabla de transformadas.
2. Inversa de la transformada de Laplace; fracciones parciales. Convolución.
3. Función impulso y Delta de Dirac.
4. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas.
5. Aplicación de la transformada de Laplace a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

1. Análisis Cualitativo de sistemas no lineales de primer orden (6 sesiones)

1. Sistemas no lineales y sistemas linealizados.
2. Diagramas de fase y de flujo.
3. Puntos críticos de sistemas no lineales y su respectiva clasificación.
4. Comportamiento asintótico de los sistemas linealizados.

1. Ecuaciones en Derivadas Parciales (2 sesiones)

1. Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales parciales sencillas. Significado geométrico de las soluciones general y particular.
2. Método de separación de variables y series de Fourier.

1. Importancia del curso en el plan de estudios

Este es un curso formativo donde se introduce al estudiante en la descripción y modelación de los fenómenos físicos, económicos, biológicos, etc., en términos matemáticos que incluyen la derivada. A través de la resolución de las ecuaciones el estudiante interpreta la realidad o fenómeno modelado.

1. Metodología

Clases expositivas, trabajos grupales y ayudantías de resolución de ejercicios que se desarrollan en forma periódica. Las clases estarán orientadas a la comprensión matemática de los conceptos y al modelamiento matemático de una gran diversidad de aplicaciones de bajo requisito teórico ajenos al curso. En las sesiones de ayudantía se resolverán problemas seleccionados en consideración a la aplicación a tópicos de ingeniería.

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