SISTEMAS DE ECUCACIONES LINEALES
Enviado por DanielZrr • 7 de Diciembre de 2015 • Tarea • 1.188 Palabras (5 Páginas) • 291 Visitas
3.1 Sistemas de ecuaciones lineales |
Consideremos el siguiente sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas xi, i=1,…n tales que:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+…a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…a2nxn=b2,⋮an1x1+an2x2+…annxn=bn,(2.6.1)
donde aij, bi son números reales.
Una solución del sistema, está compuesta de n-valores correspondientes a las variables x1, x2…xn de tal forma que se satisfagan las n-ecuaciones simultáneamente. Dependiendo de los valores de las constantes aij el sistema puede; no tener solución, tener solución única o tener una cantidad infinita de soluciones, para identificar el tipo de soluciones nos ayudaremos de determinantes.
Definición 3.1 |
El determinante principal de un sistema, está formado por los coeficientes de las variables en ese mismo orden, es decir el determinante principal del sistema (2.6.1) es Δ=∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣ |
Teorema 3.2: Un sistema de ecuaciones con coeficientes en los reales, cumple una de las siguientes afirmaciones
- Tiene solución única si y solo si Δ≠0.
- No tiene solución o tiene una cantidad infinita de soluciones si y solo si Δ=0.
Ejemplo 42 |
Indique que tipo de solución tiene el sistema: ⎧⎩⎨⎪⎪3x+2y−z−x+10y−7z2x−4y+3z===425. [pic 1] |
Ejemplo 43 |
Indique que tipo de solución tiene el sistema: ⎧⎩⎨⎪⎪x+2y−3z2x+y+z3x−4y+z===−47−2 [pic 2] |
ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA
(50/50 puntos)
Actividad complementaria |
Considerar el sistema de ecuaciones: ⎧⎩⎨⎪⎪−x+4y−3z=−35x−2y+z=68x+y−z=0 .
1.- Indicar el tipo de solución de este sistema.
[pic 3]Tiene solución única. Tiene solución única. - Correcto[pic 4]No tiene solución o tiene infinidad de soluciones
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3.1.1 Interpretación geométrica |
Para analizar lo que representa geometricamente un sistema de ecuaciones, debemos separar por la dimensión del mismo, el caso más comun es el de 2 y 3dimensiones.
Dos dimensiones.
En los sistemas de 2 ecuaciones con dos incógnitas cada una de las ecuaciones representa una línea recta, y de acuerdo al tipo de solución que tenga podemos distinguir los siguientes casos
- El sistema tiene solución única, entonces las rectas no son paralelas y se interceptan en un solo punto.
- Si el sistema no tiene solución, entonces las rectas son paralelas.
- Si el sistema tiene soluciones infinitas, decimos que las rectas coinciden o que esta una encima de la otra.
[pic 5] | [pic 6] | [pic 7] |
(a) Solución única | (b) Sin solución | (c) Infinidad de soluciones |
Figura 3.1.1: Tipos de solución gráficos en el plano
Tres dimensiones.
Para el caso de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incognitas, cada una de las ecuaciones representa un plano en el espacio, nuevamente de acuerdo al tipo de solución que se tenga podemos distinguir los siguientes casos;
- Los tres planos se interceptan en un solo punto, entonces el sistema tiene solución única.
- Los tres planos se interceptan en una misma recta, entonces cada punto sobre la recta es solución y el sistema tiene infinidad de soluciones.
- Los tres planos coinciden, el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.
- Dos de los planos coinciden y se interceptan con el tercero en una recta, entonces la recta es solución del sistema y tiene solución infinita.
- Al menos dos de los planos son paralelos, entonces el sistema no tiene solución.
- Dos de los planos coinciden en una recta L, el tercer plano es paralelo a L y no la contiene, entonces el sistema no tiene solución.
[pic 8] | [pic 9] | [pic 10] |
(a) Solución única | (b) Infinidad de soluciones | (c) Infinidad de soluciones |
[pic 11] | [pic 12] | [pic 13] |
(d) Infinidad de soluciones | (e) Sin solución | (f) Sin solución |
Figura 3.1.2: Tipos de solución gráficos en el espacio
Dentro del contexto de sistemas de ecuaciones se maneja la siguiente notación.
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