Solución de ecuaciones lineales y Aproximación
Enviado por KkkFuckNiggas • 26 de Agosto de 2018 • Ensayo • 2.643 Palabras (11 Páginas) • 175 Visitas
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Barinas Edo. Barinas
Universidad Santa María
Solución de ecuaciones lineales y Aproximación
Integrantes:
Hawat Jorge C.I: 27.023.817
Marteran Ramón C.I:
Vela Luis C.I: 26.983.082
Ecuaciones Lineales:
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfagan las ecuaciones.
Tipos de sistemas lineales:
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
- Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
- Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
- Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
- Sistema incompatible si no tiene solución.
Resolución de sistemas lineales:
- Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
- Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
- Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
- Método gráfico
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:
- Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.
- Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.
- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
- En este último paso hay tres posibilidades:
- Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
- Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
- Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero sí en los complejos.
Métodos Abiertos:
Los métodos abiertos, a diferencia de los cerrados, calcula en cada iteración una aproximación a la raíz y se despreocupan de verificar si esta aproximación genera o no un intervalo que contenga una raíz.
- Las raíces múltiples
Las raíces múltiples son determinados de ecuaciones polinómicas que tienen la forma general:
F(x) = a0 + a1x + a2x2 +... + anxn
Donde n es el grado del polinomio y son los coeficientes. Las raíces de los polinomios pueden ser reales y / o complejos, y cumplir con las tres reglas:
* En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas. Cabe señalar que las raíces no son necesariamente diferentes.
* Si n es impar hay al menos una raíz real.
* Si hay raíces complejas, estas se encuentran en pares conjugados.
- Método de Punto Fijo
El método de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Bisección, uno de los primeros métodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. No obstante que en la actualidad existen otros métodos más eficientes, el de punto fijo se considera el más simple en sus principios y en él se pueden apreciar claramente todas las características de un método de aproximaciones sucesivas.
Sea F(x) = 0 una ecuación algebraica o trascendente cualquiera. Se suma x en ambos miembros y se obtiene: F(x) + x = x
Donde el miembro izquierdo es otra función de x que se define como:
G(x) + x = x
Se sustituye en la ecuación (1): x = G(x)
- Método de Newton-Raphson
Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de una ecuación algebraica o trascendente, el de Newton-Raphson es el que presenta mejores características de eficiencia, debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciones.
Este método es aplicable tanto en ecuaciones algebraicas como trascendentes y con él es posible obtener raíces complejas.
Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.
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