Sucesiones

Sucesiones

Primera definición.-

Consideremos una función S: z+ R tal que ∀ n que ∈ Z+, S(n) ∈ R es un elemento de la sucesión. En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-esimo término de la sucesión.

En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-esimo término de la de la sucesión.

Notación.- A una sucesiones infinitas S1, S2,…….SN,…….. Representaremos por {Sn} n≥ 1.

Ejemplos:

los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por :

Entonces

Segunda definición:

Una sucesión {Sn} n≥ 1, se dice que tiene límite L, si para todo ɛ > 0, existe un numero

N >0, tal que | Sn -L| < ɛ, para toda n > N y denotaremos por:

lim┬(n→∞)⁡Sn=L

En forma simbólica, se tiene:

lim┬(n→∞)⁡Sn=L ⟺∀ ℇ>0,∃ N >0 /n>N⟹| Sn -L|<ℇ

Ejemplos:

Usando la definicion del lımite de una sucesión, demostrar que:

Solucion:

Tercera definición.-

Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite en caso contrario se dice que es divergente.

Ejemplos:

Determinar si son convergentes o divergentes las siguientes sucesiones:

Ejercicio 1

Solucion:

Ejercicio dos:

Propiedades de los limites de suceseiones.

Primera propiedad

La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los límites.

Segunda propiedad

La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia de los límites.

Tercera propiedad

El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de los límites.

Cuarta propiedad

Si una sucesión (an) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también

Quinta propiedad

Sean (an) y (bn) dos sucesiones convergentes que tienen por límites L1 y L2.

Sexta propiedad

Consideremos k una constante entonces:

lim┬(n→∞)⁡k=k

Séptima propiedad

Consideremos an una sucesión convergente, y k una constante entonces:

lim┬(n→∞)⁡〖k An 〗=k lim┬(n→∞)⁡An

Ejemplos1.

Ejemplo 1

Ejemplo 3:

Teorema de la media aritmetica.

Consideremos una sucesión {an} n≥ 1. Convergente

Teorema de la media geometrica

Consideremos una sucesión {an} n≥ 1. Convergente

Teorema del encaje para sucesiones

Si ∀ n que ∈ Z+, N>0.

Ejemplo;

Criterio de la razón para la convergencia de sucesiones.

Sea {an} n≥ 1 una sucesión de números reales

Si

Sucesiones divergentes

Una sucesión es divergente si los términos se aproximan cada vez más a infinito o a menos infinito (+ ó - ). Expresado de forma rigurosa:

Una sucesión (an) tiene por límite + ó diverge a + si elegido u número k tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no tal que para cualquier

n ³ no, an > k.

Esto es equivalente a afirmar que para n ³ no, an está en el intervalo (k, + ), es decir, los términos se hacen tan grandes como se quiera.

Una sucesión (an) tiene por límite - ó diverge a - si elegido un número k tan

Grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no tal que para cualquier n ³ no , an < -k.

Esto equivale a decir que para n ³ no, an pertenece al intervalo (- , -k).Igual que en las sucesiones convergentes, para cada número k elegido, el subíndice no será distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultará no .

Sucesión oscilante

Una sucesión (an) se dice que es oscilante si no es convergente ni divergente.

Ejercicio:

 Probar que la sucesión an = 5n2 - 9 diverge a + .

Resolución:

...