Matematica

Álgebra

Algebra, rama de las matemáticas en las que se usan letras para representar relaciones aritméticas.

La historia del algebra comenzó en el antiguo Egipto y babilonia, donde fueron capases de resolver ecuaciones lineales (ax=b) y cuadráticas (ax2+ bx=c), así como ecuaciones indeterminadas como X2+y2=z2, con barias incógnitas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y babilonia, aunque el libro las aritméticas de Diofante es de bastante mas nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez acogida en el mundo islámico en donde sele llamo “CIENCIA DE REDUCCION Y EQUILIBRIO” (la palabra árabe al- y^abr que significa “reducción”, es el origen de la palabra algebra). En el siglo lX, el matemático al-jwarizmi escribió uno de los primeros libros árabes de algebra una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo lX, el matemático egipcio Abu Kamil anuncio y demostró las leyes fundamentales e identidades del algebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x+y+z=10, x2+y2= z, y Xz=y2.

El matemático, poeta y astrónomo persa Omar Kha y yam mostro como expresar las raíces de ecuaciones cubicas utilizando los segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de encontrar una formula para las raíces.

Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado, a principios del siglo XlX el matemático noruego Niels Abel y el Francis Evaristo Galios demostraron la existencia de dicha formula.

El Álgebra (del árabe: الجبر al-ŷabr 'reintegración, recomposición'1 ) es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.2 3 En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la artimética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

Introducción

A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general.4 El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.

La palabra «álgebra» proviene del vocablo árabe الجبر al-ŷabr (en árabe dialectal por asimilación progresiva se pronunciaba [alŷɛbɾ] de donde derivan los términos de las lenguas europeas), que se traduce como 'restauración' o 'reponimiento, reintegración'. Deriva del tratado escrito alrededor del año 820 d.C. por el matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi), titulado Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr waˀl-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Muchos de sus métodos derivan del desarrollo de la matemática en el islam medieval, destacando la independencia del álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y de la aritmética.5 Puede considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en aritmética, pero con objetos matemáticos no-numéricos.6

El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre:

• Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas.

• Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.

El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos, mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.

Álgebra en la antigüedad

Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica,7 que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

Los matemáticos de la Antigua Grecia introdujeron una importante transformación al crear un álgebra de tipo geométrico, en donde los «términos» eran representados mediante los «lados de objetos geométricos», usualmente líneas a las cuales asociaban letras.6 Los matemáticos helénicosHerón de Alejandría y Diofanto8 así como también los matemáticos indios como Brahmagupta, siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, si bien la Arithmetica de Diofanto y el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta se hallan a un nivel de desarrollo mucho más alto.9 Por ejemplo, la primera solución aritmética completa (incluyendo al cero y soluciones negativas) para las ecuaciones cuadráticas fue descrita por Brahmagupta en su libroBrahmasphutasiddhanta. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollarían métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación.

Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el pádre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intituladosArithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.10

Edad Moderna

Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numerosas innovaciones, y se alcanzan resultados que claramente superan los resultados obtenidos por los matemáticos

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