Historia De Las Ecuaciones Diferenciales

I. INTRODUCCIÓN

La historia de las ecuaciones diferenciales se originó en los albores del cálculo con Isaac Newton

Y Gottfried Wilhelm Leibniz, en el siglo XVII. Aunque Newton trabajó relativamente poco en las ecuaciones diferenciales, su desarrollo del cálculo y su aclaración de los principios fundamentales de la mecánica proporcionaron una base para la aplicación de aquellas en el siglo XVIII, de modo más notable por Euler, Newton clasificó las ecuaciones diferenciales de primer orden según las formas dy dx = f(x), dy/dx = f(y) y dy/dx = f(x,y). Para la última ecuación desarrollo un método de solución, aplicando series infinitas, cuando f(x, y) es un polinomio en x y y.

Leibniz llegó a los resultados fundamentales del cálculo de manera independiente, aunque un poco más tarde que Newton. Leibniz tenía plena conciencia del poder de una Buena notación matemática, y la notación actual para la derivada (dy/dx) y el símbolo de la integral se deben a él. Descubrió el método de la separación de variables en 1691, la reducción de ecuaciones homogéneas a ecuaciones separable en 1961, y el procedimiento para resolver ecuaciones lineales de primer orden en 1964.

Los hermanos Jakob y Johann Bernoulli hicieron mucho por llegar a los métodos para resolver ecuaciones diferenciales y ampliar el alcance de sus aplicaciones. Con la ayuda del cálculo plantearon y resolvieron varios problemas de la mecánica como ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, Jakob Bernoulli resolvió la ecuación diferencial y’=[a^3/(b^2y – a^3)]^1/2 en 1690. En 1694, Johann Bernoulli pudo resolver la ecuación dy/dx = y/ax, aún cuando todavía no se sabía que d(ln x) = dx/x.

II. ECUACIONES DIFERENCIALES

DE PRIMER ORDEN

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado: “Tratado de la cosa”. La “cosa” como ellos la llamaban es lo que ahora conocemos como X.

A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución en fin, en sí mismo. Ya Newton observo que si dy/dx = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor. Los matemáticos de la época con frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t de una partícula , entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición por tanto, permanece constante.

En 1963 Huygens habla explícitamente de las ecuaciones diferenciales al mismo tiempo Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triángulo característico.

Ilustración 1: El triángulo característico.

Las ecuaciones diferenciales aparecen simultáneamente al cálculo infinitesimal. Por ejemplo en 1638 apareció el problema de la tractiz, propuesto por René Descartes a Fermat, que realmente es un problema de tangentes de una curva, (no pudo resolverlo pues no conocía el cálculo), y fue resuelto en 1674 por Leibniz y en 1690 por Jakob Bernoulli, cuando ya se conocían los trabajos de Newton y Leibniz.

De forma simplificada se considera que el siglo XVIII como el siglo de la integración elemental de las ecuaciones diferenciales. Estas se convirtieron en el instrumento básico de investigación en problemas de mecánica, geometría diferencial y cálculo de variaciones y se relacionaron con la teoría de funciones de variable compleja y con las series trigonométricas. Aparecieron también algunos problemas físicos, como el problema

...