Historia de las ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales de 1er orden

Moreno Hernández Kevin Yair                Tarea 1                Fecha de entrega: 9/Agosto/2017

Historia de las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales de 1er orden

Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial afínales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas: las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en sí mismo. Ya Newton observó que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n−1, en particular, depende den constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor. Los matemáticos de la  época con frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición  en el tiempo de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante.

En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones  diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triángulo característico.[pic 1]

En 1690, Jacques Bernoulli planteó el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó catenaria. Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras que Huygens probó que esto no era correcto.

En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernoulli publicaron soluciones independientes. Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemos a la misma altura) y que distan 2a uno del otro y sea ρ la densidad del cable. Sea y=y(x) la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la altura mínima del cable ocurre en   x= 0 (o en otras palabras,        y(0) = 0). Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (por conveniencia lo situamos en el tramo positivo de las x; en otro caso, el razonamiento es completamente igual) y pensemos en las fuerzas que actúan en el trozo de cable desde el punto de altura mínima hasta (x, y)[pic 2]

La catenaria cumple otra importante propiedad: de entre todas las curvas de longitud dada, la que minimiza la energía potencial es precisamente la catenaria. El estudio de funciones minimizantes llevó al descubrimiento del cálculo de variaciones por Euler a mediados del siglo XVIII y LaGrange a finales del siglo XVIII mejoró y amplió los métodos de Euler.

Por otra parte, la catenaria se puede obtener por dos caminos distintos: a partir de las leyes de Newton o como la curva que minimiza una cierta magnitud física. Se vio que muchos problemas físicos poseen esta dualidad. La reformulación de las leyes físicas por medio de funciones minimizantes fue hecha por Hamilton a mediados del siglo XIX.

Leibniz descubrió la técnica de separación de variables en 1691: Indicó cómo se resuelve

  [pic 3]

También redujo en el mismo año la ecuación homogénea dy/dx = f(y/x) a una separable de primer orden del modo usual: con el cambio y = vx. En 1694, Leibniz, publicó la resolución de la ecuación  [pic 4]

En 1694, Leibniz y Jean Bernoulli estudiaron el problema de encontrar la familia de curvas que cortan con un ángulo dado a una familia de curvas dadas. Jean Bernoulli señaló que este problema es importante para determinar las trayectorias de los rayos de luz que recorren un medio no uniforme porque dichos rayos cortan ortogonalmente los llamados frentes de luz. El problema fue resuelto de forma general e independiente por Leibniz y por Jean Bernoulli en 1698. El método empleado es el mismo que se usa hoy en día.

También fueron identificadas las ecuaciones diferenciales de primer orden exactas, es decir, las ecuaciones M(x, y) dx + N(x, y)dy = 0  para las cuales existe una función z = z(x, y) tal que dz = Mdx + Ndy. Clairaut en 1739 dio la condición que fue dada de forma independiente por Euler en 1734.  Si se tiene dz = M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, como remarcaron Euler y Clairaut, la solución es  z = cte.[pic 5]

Cuando una ecuación de primer orden no es exacta, es posible muchas veces multiplicarla por una función, llamada factor integrante, que la convierta en exacta. Aunque se había usado esta técnica en algunas ecuaciones, fue Euler en 1734 quien se dio cuenta que este concepto proporcionaba un método de integración e introdujo las expresiones que actualmente se usan. Clairaut amplió la teoría poco más tarde. Hacia 1740 se conocían los métodos elementales de resolución de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ecuaciones de 2o orden [pic 6]

En sus esfuerzos por tratar el problema de la cuerda vibrante, Jean Bernoulli en 1724, planteó y resolvió la ecuación d2y/dx2 =k2y. Anteriormente se dedujo la ecuación que debe satisfacer un péndulo simple: d2θ/dt +mg senθ = 0.

Es de destacar que antes de la solución de Jean Bernoulli, ni se conocía la solución del péndulo simple, ni la que se obtiene tras aproximar senθ por θ. Euler comenzó a considerar ecuaciones de orden superior a uno en 1728. Desde el punto de vista de la concepción de función de la época, se disponía, a partir de Newton de un método general de integración de ecuaciones diferenciales mediante el desarrollo de funciones en forma de serie.

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