Aplicaciones de la distribución de probabilidad de Poisson

Aplicaciones de la distribución de probabilidad de Poisson

Jerzy Letkowski

Universidad del Oeste de Nueva Inglaterra

Resumen

La distribución de Poisson fue presentado por Simone Denis Poisson en 1837 Desde entonces ha sido objeto de numerosas publicaciones y aplicaciones prácticas. El propósito de este trabajo es dar a conocer numerosas oportunidades de aplicación y proporcionar cobertura caso más completo de la distribución de Poisson. En primer lugar una definición formal y las características básicas de una variable de Poisson y su distribución se resumen. Casos siguientes, que representan el tiempo y el espacio orientado situaciones de Poisson, se presentan. Soluciones de evaluación de la probabilidad, utilizando funciones incorporadas en la hoja de cálculo

programas, se presentan. Por último, se discuten las cuestiones pedagógicas, sobre los desafíos en la enseñanza de Estadística.

Palabras clave: estadística, probabilidad, distribución, variable aleatoria, de Poisson.

POISSON VARIABLE Y DISTRIBUCIÓN

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que

representa el número (conteo) de eventos estadísticamente independientes, que se producen dentro de una unidad de tiempo o el espacio (Wikipedia-Poisson, 2012), (Doane, Seward, 2010, p.232), (Sharpie, De Veaux, Velleman, 2010, . p 654), (Jaggia, S., Kelly, A., 2012, p. 157), (Donnelly, 2012, p. 215), (Anderson, Sweeney, Williams, 2012, p. 236). Dado el valor esperado, μ, de la variable, X, la función de probabilidad se define como:

[pic 1]

Un intento más generalizada para definir esta distribución se muestra en (Levine, Stephan, Krehbiel, Berenson, 2011), donde la unidad de tiempo o en el espacio se denomina como un área de oportunidad (p. 177) .Forma una interesante generalización de este contexto importante de la distribución de Poisson.

Wolfram MathWorld (2012) llega a esta distribución tomando el límite de la

Binomial (Bernoulli) de distribución cuando el número, N, de los ensayos se hace muy grande (N? ¥). Una variable aleatoria binomial representa el número de éxitos en una serie de pruebas independientes y probabilísticamente homogéneos (Wikipedia-binomial, 2012). Una relación de la distribución de Poisson para la distribución binomial también se le indicó en (Pelosi, Sandifer, 2003) y (DeVeaux, Velleman, Bock 2006, p. 388).

Evaluación de las probabilidades para las variables de Poisson no es complicado. Hay muchos

Sitios web que ofrecen calculadoras para este fin ("Poisson Calculadora ...", 2012). Todos los grandes, los paquetes estadísticos contemporáneos y programas de hojas de cálculo están bien equipadas con funciones para el cálculo de probabilidades de Poisson. Por ejemplo, Google hoja de cálculo de Microsoft Excel y proporcionan la misma sintaxis para las funciones de distribución:

P (X = N) = Poisson (n, μ, falsa), P (X? N) = Poisson (n, μ, verdadera)

Observe que el último parámetro de la función de Poisson indica si la función devuelve la probabilidad acumulativa. Un ejemplo para el cálculo de probabilidades de Poisson en una hoja de cálculo de Google se muestra en la Figura 1 (Apéndice). Una función similar está disponible en el programa de hoja de cálculo de Open Office, = Poisson (x; μ; 0 | 1). Tenga en cuenta que este programa de hoja de cálculo utiliza un punto y coma para separar los argumentos de la función.

TIEMPO ORIENTADO VARIABLES POISSON

Feller (1966, p. 17) muestra cómo la distribución de Poisson se puede derivar de una serie de variables aleatorias exponencialmente distribuido, Sn = X1 + X2 + ... + Xn. Teniendo en cuenta una variable aleatoria, N (t), tal que N (t) = max {n: Sn  t} y dadas todas las variables Xk, k = 1,2, ..., n, tienen la misma distribución exponencial, f (x) = E ·-μx, x  0, la variable N (t) tiene esta distribución:[pic 2]

En consecuencia, la variable aleatoria de Poisson puede ser más “estirada” a través de intervalos largos o cortos. Como  μ es el (promedio) número esperado de eventos por una unidad de tiempo o espacio, μt será un número de tales unidades por t. Uno tiene que asegurarse de que proceso de N (t) es estacionaria dentro de intervalo de tiempo (0, t).

Si uno observa los pacientes que llegan a una sala de emergencia, conducción de automóviles hasta una gasolinera, en descomposición átomos radiactivos, los clientes del banco que llegue a su banco, o los compradores que se sirve en una caja registradora, las corrientes de este tipo de eventos suelen seguir el proceso de Poisson. La suposición subyacente es que los eventos son estadísticamente independientes y la tasa, μ, de estos eventos (el número esperado de los eventos por unidad de tiempo) es constante. La lista de aplicaciones de la distribución de Poisson es muy largo. Para nombrar sólo algunos más:

• El número de soldados del ejército prusiano muertos accidentalmente por patada de caballo por año (von Bortkewitsch de 1898. P 25).

• El número de mutaciones en una cadena dada de ADN por unidad de tiempo (Wikipedia-Poisson, 2012).

• El número de quiebras que se presentan en un mes (Jaggia, Kelly, 2012 p.158).

• El número de llegadas en un lavado de autos en una hora (Anderson et al., 2012, p. 236).

• El número de fallas en la red por día (Levine, 2010, p. 197).

• El número de la infección por el virus de servidor de archivos en un centro de datos durante un período de 24 horas. el número de paradas motores de las aeronaves Airbus 330  por cada 100.000 horas de vuelo. El número de llegadas de los pacientes de asma en una hora determinada en un clínica ambulatoria (Doane, Seward, 2010, p. 232).

• El número de personas hambrientas que entran a un restaurante McDonalds. El número de accidentes relacionadas con el trabajo durante un tiempo de producción dado, el número de nacimientos, defunciones, matrimonios, divorcios, suicidios y homicidios durante un período determinado de tiempo (Weiers, 2008, p. 187).

• El número de clientes que llaman para quejarse de un problema de servicio por mes

(Donnelly, Jr., 2012, p. 215).

• El número de visitantes a un sitio Web por minuto (Sharpie, De Veaux, Velleman, 2010, p.654).

...