EJERCICIOS DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Enviado por ridercarolina • 29 de Agosto de 2021 • Trabajo • 2.269 Palabras (10 Páginas) • 203 Visitas
UNIDAD II: ESTIMACION DE PARAMETROS | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ESTIMACIÓN PUNTUAL Sea [pic 1] una muestra aleatoria. Los valores estadísticos muestrales se utilizan como estimadores de los parámetros de la población.
Este tipo de estimación donde se obtiene un único valor estimado del parámetro se llama Estimación Puntual. Sin embargo, las muestras aleatorias tienden a producir muestras en las que, por ejemplo la media de la muestra no es igual a la media de la población, aunque ambos valores generalmente están muy cercanos entre sí. Debido a la variabilidad de muestreo, es deseable una estimación de intervalo, la cual proporciona un rango de valores posibles para el parámetro de la población. EJEMPLO: La proporción de estudiantes de educación superior que fuman es 43% (Estimación Puntual) La proporción de estudiantes de educación superior que fuman está entre 40% y 46% con un 95% de confianza (Estimación por Intervalo) Ejemplo 1.- Las primeras semanas de este año fueron buenas para el mercado de acciones. En una muestra de 25 fondos abiertos se encontraron las siguientes ganancias obtenidas desde principio del año hasta el 25 de enero. Variable: Rentabilidad (Porcentaje de ganancia)
n = 25 Promedio de la muestra = 3,35% La rentabilidad media en los 25 días es 3,35%.
Desv. Estándar de la muestra: S = 2,29% La rentabilidad tiene una dispersión de 2,29%
n = 25 x= 6 p = 6/25 = 0,24 En el 24% de los días la rentabilidad fue superior al 5%. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Una estimación de un parámetro poblacional dada por dos números, entre los cuales se encuentra el parámetro, se llama estimación de intervalo del parámetro. Se puede determinar un intervalo de confianza utilizando cualquier estimador puntual que sea insesgado y que posea una distribución aproximadamente normal. Un intervalo debe cumplir dos propiedades:
La longitud y la localización del intervalo son cantidades aleatorias, y no se puede estar seguro de que el verdadero valor del parámetro se localice entre los extremos. Luego, el objetivo es encontrar un estimador por intervalo que genere intervalos angostos y que contenga al parámetro con una alta probabilidad. En general, buscamos un intervalo que satisfaga: donde LIC: Límite inferior de confianza LSC: Límite superior de confianza [pic 8][pic 9] DEFINICION: Coeficiente de Confianza, es la probabilidad que el intervalo de confianza contenga el parámetro estimado, [pic 10]. El coeficiente de confianza indica la fracción de veces en un muestreo repetitivo, que los intervalos construidos contendrán al verdadero valor del parámetro. Por ejemplo, un intervalo de confianza del 90%, indica que de cada 100 intervalos que se construyan, 90 de ellos contendrán el verdadero valor del parámetro. Los coeficientes de confianza más comunes son: 90%, 95% y 99%. Observación: La amplitud del intervalo es la diferencia entre LSC y LIC y el error de estimación es la mitad de la amplitud. [pic 11] [pic 12] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA [pic 13] CON [pic 14]DESCONOCIDA Buscamos [pic 15] [pic 16] [pic 17] Sabemos que: [pic 18] Queremos [pic 19] Depejando [pic 20] obtenemos: [pic 21] Como [pic 22] generalmente se desconoce, puede aproximarse por la desviación estándar muestral S, cuando [pic 23] IC para la media poblacional con [pic 24]desconocido y [pic 25] [pic 26] EJEMPLO: Se registraron los tiempos utilizados en la compra para 64 clientes seleccionados al azar en un supermercado. La media y la varianza de los 64 tiempos de compra fueron 33 minutos y 256, respectivamente. Estimar el promedio real [pic 27], del tiempo utilizado por clientes en la compra, con un coeficiente de confianza del 90%. Variable: Tiempo utilizado en la compra supermercado Parámetro: Tiempo promedio en la compra de supermercado [pic 28] Como solo se conoce la varianza de la muestra y el tamaño de muestra es grande, se reemplaza [pic 29]por S. Busquemos el valor [pic 30] , sabemos que: [pic 31]
[pic 32]
El tiempo promedio utilizado por los clientes en el supermercado está entre 29,7 y 36,3 minutos con un 90% de confianza. Nota: Entre más grande es el tamaño de la muestra más pequeño es el ancho del intervalo, y para un coeficiente [pic 33] más grande mayor es el ancho del intervalo de confianza. [pic 34] [pic 35] De la expresión para el error de estimación, se deduce la fórmula de tamaño de muestra. Despejando n se obtiene: [pic 36] Cuando se desconoce σ se reemplaza por S | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
INTERVALO DEL [pic 37] PARA [pic 38] CON [pic 39] DESCONOCIDA, n < 30 En el caso de muestras mayores que 30, [pic 40][pic 41]se puede estimar por S, y usamos la distribución normal; en muestras menores que 30, debemos usar una distribución más apropiada, la distribución T – Student Un intervalo de confianza del [pic 42] para [pic 43] con [pic 44]desconocida y n < 30, es: [pic 45] EJEMPLO: Se hace un estudio de mercado, para determinar la venta promedio de una nueva marca de bebidas gaseosas, durante un mes en una cadena de minimarket. Los resultados para una muestra de 26 minimarket indicaron ventas promedio para el producto de $250.000 con una desviación estándar de $30.000. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 95% para la verdadera venta promedio de este producto en la cadena de minimarket. Variable: Venta mensual de la bebida gaseosa Parámetro: Venta promedio mensual de la bebida gaseosa [pic 46] [pic 47] La venta promedio mensual para la bebida gaseosa, está entre $237.880 y $262.120 con un 95% de confianza. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
INTERVALO DE CONFIANZA DEL [pic 48] PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL P El porcentaje de productos defectuosos de un proceso de manufactura es el barómetro más importante para medir el proceso de fabricación de un producto dado. Ya que el artículo puede estar defectuoso o no, el número de unidades defectuosas es una variable aleatoria binomial, si se supone una probabilidad constante e independencia. En una m.a. de tamaño n, el parámetro p que representa la proporción de artículos defectuosos es desconocida. Se desea determinar un I.C. para p. Construiremos el intervalo basándonos en una muestra grande. [pic 49] Sabemos que: [pic 50] La distribución de [pic 51] Así, un intervalo de confianza del [pic 52] para la proporción p es: [pic 53] EJEMPLO: Un fabricante asegura a una compañía que le compra un producto, que el porcentaje de productos defectuosos no es mayor del 5%. La compañía decide comprobar la afirmación del fabricante seleccionando de su inventario 200 unidades de este producto y probándolas. ¿Deberá sospechar la compañía de la afirmación del fabricante si se descubre un total de 19 unidades defectuosas en la muestra? Compruebe la afirmación construyendo un I.C. del 95%. [pic 54][pic 55] Reemplazando: [pic 56] La proporción de defectuosos se encuentra entre 5,5% y 13,5% con un 95% de confianza, la afirmación del fabricante no es verdadera, pues la proporción es mayor a la indicada. De la formula de IC para la proporción, obtenemos: [pic 57] [pic 58] Fijando el error de estimación, se obtiene la fórmula de tamaño de muestra para la proporción [pic 59] si se desconoce p se usa [pic 60] ó p = 0,5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA [pic 61] DEL [pic 62] Supongamos que [pic 63] [pic 64]. Además [pic 65][pic 66] [pic 67] Debemos encontrar [pic 68] tal que: [pic 69] [pic 70] donde Así un I.C. para [pic 71] del [pic 72] es: [pic 73]
EJEMPLO: En una muestra aleatoria se registró el peso de 10 paquetes y se obtuvo los siguientes resultados en gramos: 46.4; 46.1; 45.8; 47 ; 46.1 ; 45.9; 45.8 ; 41.9 ; 45.2 ; 46 Encuentre un IC para la varianza del peso de toda la producción, con un nivel de confianza del 95%. Suponga que la población tiene distribución normal. [pic 74] [pic 75] [pic 76] Reemplazando: [pic 77] Se puede afirmar que con una confianza del 95%, la varianza de los pesos de los paquetes esta entre 0,94 y 6,44 (gramos)2 |
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