Ejercicio de probabilidades

Bloque 5. Probabilidad y Estadística

Tema 1. Probabilidad

Ejercicios resueltos

5.1-1 Se lanzan al aire tres monedas iguales, describe todos los sucesos del espacio muestral. Sean  los  sucesos  A  =  sacar  al  menos  una  cara, B = sacar al menos una cruz, describe los sucesos:[pic 1]

A, A ∪ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B, A ∪ B

Solución

Si denotamos por C salir cara y por X salir cruz, el espacio muestral sería E = {CCC , CCX , CXX , XXX } y todos sus sucesos serían:

Ø, {CCC}, {CCX}, {CXX}, {XXX}, {CCC , CCX}, {CCC , CXX},

{CCC , XXX}, {CCX , CXX}, {CCX , XXX}, {CXX , XXX},

{CCC , CCX , CXX}, {CCC , CCX , XXX}, { CCC , CXX , XXX},

{CCX , CXX, XXX} , {CCC , CCX , CXX , XXX}

A = sacar al menos una cara = { CCC , CCX , CXX} B = sacar al menos una cruz = { CCX , CXX , XXX }

[pic 2]

• A = no sacar al menos una cara = { XXX }
• A ∪ B = sacar al menos una cara o al menos una cruz

A ∪ B = { CCC , CCX , CXX , XXX } = E

Es decir, seguro que sale al menos una cara o al menos una cruz.

• A ∩ B = sacar al menos una cara y al menos una cruz

A ∩ B = { CCX , CXX }[pic 3]

• A ∩ B= no sacar al menos una cara y al menos una cruz

[pic 4]

A ∩ B= { CCC , XXX }

• A ∩ B= no sacar al menos una cara y no sacar al menos una cruz[pic 5][pic 6]

A ∩ B= { XXX } ∩ { CCC } = Ø[pic 7][pic 8]

• A ∪ B= no sacar al menos una cara o no sacar al menos una cruz[pic 9][pic 10]

A ∪ B= { XXX } ∪ { CCC } = { CCC , XXX }[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

[pic 15]

Se comprueba como A ∩ B = A ∪ B

5.1-2[pic 16]

Solución

El experimento aleatorio es extraer una bola de una bolsa y observar su color, su espacio muestral es:

E = {bola negra, bola blanca, bola roja, bola verde}

1. Sea el suceso R = la bola es roja.

Como los sucesos son equiprobables, podemos aplicar la regla de Laplace. Recordamos que hay 4 bolas rojas de un total de 14.

p ( R) = casos favorables = 4 = 2[pic 17][pic 18][pic 19]

casos posibles        14        7

1. Sea el suceso N = la bola es negra. Entonces el suceso contrario es:[pic 20]

N = la bola no es negra

p ( N ) = 1− p ( N ) = 1− casos favorables a N[pic 21][pic 22]

= 1− 2

= 1− 1 = 6

casos posibles        14        7        7[pic 23][pic 24][pic 25]

1. Sean los sucesos B = la bola es blanca, V = la bola es verde,

BoV = B ∪V = la bola es blanca o verde.

p ( BoV )

= p ( B ∪V ) =

p ( B)

+ P (V ) =

= casos favorables a B + casos favorables a V =[pic 26][pic 27]

casos posibles        casos posibles

=  3  +  5  =  8  = 4[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

14        14        14        7

5.1-3[pic 32]

Solución

Recordamos que en la baraja española de 40 cartas hay 10 cartas de cada palo (oros, copas, espadas y bastos) y 12 figuras (3 de cada palo).

p (O) = casos favorables = 10 = 1[pic 33][pic 34][pic 35]

casos posibles        40        4

p (F) = casos favorables = 12 = 3[pic 36][pic 37][pic 38]

casos posibles        40        10

p (O ∩ F) =

p (oros y figura) = casos favorables = 3

casos posibles        40[pic 39][pic 40]

p (O ∪ F) =

p (O)

...