Matematicas

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe

a o a : b.

b

Y se lee "a es a b"; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

EJEMPLOS

1.Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m de ancho, la razón entre largo y ancho es

A) B) C) D) E)

3 : 1.000

3:1

3 : 100

1:3

0,6 : 2

2. Los puntos M, N, P y Q, son puntos medios del cuadrado ABCD (fig. 1). Entonces, ¿en qué

razón están las áreas de las regiones achuradas y en blanco respectivamente?

8

A)

B)

C)

D)

E)

3

5

8

3

8

5

3

3

5

A

P

B

Q

N

D

M

C

Fig. 1

PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe

x=y

ó

x:a= y:b

a b

Y se lee "x es a a como y es a b"; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL

En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

(x : a = y : b) (x • b = y • a)

OBSERVACIÓN: Si x : a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de

proporcionalidad, tal que:

x = ka , y = kb ; k0

EJEMPLOS

1. Si u : v = 3 : 10 y u : w = 1 : 2 , entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es

FALSA, sabiendo que v = 30?

A) B)

C)

D) E)

u2 = 81

w - v = -12

w =9

2

2w = 36

u - v = 21

2.

El valor de x en la proporción

x2 x1

es

3 4

A) -1

B) -3

C) -5

D) 3

E) 11

2

SERIE DE RAZONES es la igualdad de más de dos razones.

La serie de razones

OBSERVACIONES :

xyz

abc

también se escribe como

x:y:z = a:b:c

2

xyz = x = y = z =k

abc a b c

2

Si

xa

y

yb

,

entonces

x:y:z = a:b:c

EJEMPLOS

yb

z

c

1. Si a:b=3:5 y b : c = 5 : 9 , entonces a : c : b =

A) 3 : 9 : 10 B) 3 : 5: 9 C) 5 : 9: 3 D) 3 : 9: 5 E) 6 : 18 : 5

2. Las edades de tres hermanas: María, Carmen y Lucía, son entre sí como 2 : 5 : 3. Si sus

edades suman 30 años, entonces la edad de Lucía es

A) B) C) D) E)

15 años 9 años 6 años 3 años

1 año

3.

Si

r3

s5

y

r 9 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

t 10

verdadera(s)?

I)

II)

III)

r : t = 3 :10

3t s

2

2r : s : 3t = 6 : 5 : 10

A) B) C) D) E)

Sólo II Sólo III

Sólo II y III

I, II y III

Ninguna de ellas

3

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

x1 = x2 = x3 = ........... = xn = k

y1 y2 y3 yn

Así por ejemplo, en la tabla de la figura 1, las cantidades ubicadas en las filas A y B son directamente proporcionales.

A 3 4 5 x

Fig. 1

B 9 12 15 y

Por lo tanto se deduce que x 1

y3

OBSERVACIONES :

2 En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta

(disminuye) el mismo número de veces.

2 El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el

origen (fig. 2).

Y

Recta

yn

y3

y2

y1

...