Simulacion Numeros y Variable Aleatorias

SIMULACION NUMEROS Y VARIABLES ALETORIAS

SERGIO DAVID RAMOS UNI

DIEGO FERNANDO SILVA ORDOÑEZ

JESÚS EMILIO PINTO LOPERA

DOCENTE

UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA DE SISTEMAS

FLORENCIA, COLOMBIA

2022

Introducción

Los números aleatorios son la base fundamental de la simulación, de cierta manera la generación de números aleatorios involucra modelos por el cual se obtiene un generador de números aleatorios (Sangrador et al., n.d.) la cual produce una sucesión de valores donde comprende variables aleatorias independientes, estos números aleatorios luego se transforman convenientemente para simular las diversas distribuciones de probabilidad requeridas en el modelo (Murray, 2022)

Existen diferentes métodos que permiten representar la simulación de aleatoriedad de números, entre los cuales están método de cuadrados medios, productos medios, multiplicador constante, método lineal y método congruencia entre otros. Para este ejercicio se presenta un algoritmo que vincula el método congruencial mixto, la cual presenta un generador de números aleatorios recurrentes que nos permite vincular los números pseudoaleatorios y trabajar la simulación de variables aleatorias continuas y discretas con la distribución exponencial y la distribución de Poisson.

Tabla de contenido

Introducción        2

1.        Marco Conceptual        4

1.1.        Lenguaje de Programación        4

1.2.        Números Aleatorios        5

1.2.1.        Método Congruencial Mixto        5

1.3.        Variable Aleatorias        5

1.3.1.        Variables aleatorias continuas        5

1.3.2.        Variables aleatorias discretas        6

1.3.3.        Algoritmo genérico para simular variables aleatorias discretas o continuas        7

2.        Desarrollo del Algoritmo        11

2.1.1 Importación de librerías        11

2.1.2 Implementación de método congruencial mixto        11

2.1.3 Visualización de método congruencial        12

2.1.4 Distribución exponencial        13

2.1.5 Distribución de poisson        13

2.1.6 Función de distribución acumulativa        14

La función de distribución acumulativa tiene la función acumular probabilidades de que ocurra un evento, aquí es donde obtenemos un valor menor o igual a cierto umbral de un evento o variable en este caso como vemos en la figura 8        14

2.1.7 Criterios de decisión        14

2.1.7 Aplicación de la distribución de poisson        15

2.1.7 Visualización de la distribución de poisson        15

3.        Resultados        16

4.        Conclusiones        19

Referencias        20

1. Marco Conceptual

Para este apartado se da a conocer los modelos y procedimiento implementados para llevar a cabo el ejercicio de simulación y prueba de los modelos anteriormente mencionados.

1.  Lenguaje de Programación  

Como lenguaje de programación utilizaremos Python en su versión 3.10 debido a su alta demanda y comunidad es uno de los lenguajes con mayor soporte y características en sus librerías que nos permite representar modelos matemáticos con alta complejidad de manera fácil y eficiente, de la misma manera utilizaremos Spyder como editor de código.  

1.  Números Aleatorios

1. Método Congruencial Mixto

Los generadores congruencial Mixto o lineales generan una secuencia de números pseudoaleatorios la cual el próximo número pseudoaleatorio es definido a partir de otro número generado anteriormente, es decir,

[pic 1]

La relación de congruencia para el generador mixto es:

[pic 2]

Donde:

 Es la semilla [pic 3]

 Multiplicador [pic 4]

 incremento [pic 5]

 modulo, debe ser mayor a [pic 6][pic 7]

1. Variable Aleatorias

Las variables discretas se presentan por función de probabilidad, la cual es una función que asigna un valor numérico de un experimento aleatorio, las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.

1. Variables aleatorias continuas

Son variables continuas cuando en un experimento aleatorio se toma un numero de infinito no numerable de valores, en un intervalo de ℝ. Las variables continuas son caracterizadas por utilizar la función de densidad  la cual proporciona un medio para calcular la probabilidad dentro de un intervalo (Burgos Simón et al., 2019)[pic 8]

[pic 9]

La probabilidad de que x asuma un valor en el intervalo de [a, b] es el área sobre este intervalo en la función de densidad, lo anterior lo evidenciamos en la Figura 1

[pic 10]

Figura 1 Área bajo la curva de densidad entre intervalo a y b

Fuente: Elaboración propia

1. Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria está definida por un conjunto finito o infinito numerable de valores posibles, toda variable discreta tiene asociada una función de probabilidad que a cada valor le asigne la probabilidad que la variable tome dicho valor (V Aleatoria, n.d.). Existen datos importantes para la función de probabilidad la cual corresponde a:

• [pic 11]
• [pic 12]

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X es la función,

[pic 13]

Ejemplo:

X = resultado de lanzar un dado. La función de distribución es

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Para la variable discreta, la función de distribución es de tipo escalón la cual cada escalo corresponde a un valor posible de X y el salto corresponde a la probabilidad.

1. Algoritmo genérico para simular variables aleatorias discretas o continuas

1. Método de la transformada inversa.

Este método puede utilizarse de manera similar para variables aleatorias continuas, lo cual se puede lograr usando la función acumulada f(x) y la generación de números pseudoaleatorios ri ~U(0,1) (Eduardo García Dunna, Heriberto García Reyes 2006). Los pasos para la utilización del método es el siguiente:

1. Definir la función de densidad F(x) que represente la variable a modelar.
2. Calcular la función acumulada F(x).
3. Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa F(x) ^-1
4. Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pseudoaleatorios ri~U(0,1) en la función acumulada inversa

A partir de lo anterior, para calcular variables aleatorias continuas se usan funciones de densidad, se calcula funciones acumuladas. Por otro lado, para las variables aleatorias discretas se usa distribuciones de probabilidad (Poisson, Bernoulli, binomial, geométrica, discreta, etc.), y se generan a través de la probabilidad acumulada P(x).

De la misma manera, este método puede utilizarse para generar variables tanto de tipo discreto como continuo y la generación se lleva a cabo mediante la probabilidad acumulada P(x) y la generación de valores pseudoaleatorios ri~U(0,1). El algoritmo que se tiene en cuenta para la generación de las variables es el siguiente:

1. Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar.
2. Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x).
3. Generar números pseudoaleatorios ri~U(0,1).
4. Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de x corresponde a P(x) (Eduardo García Dunna, Heriberto García Reyes 2006).

Distribución exponencial  

La distribución exponencial es utilizada para calcular la probabilidad del paso del tiempo, se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial con parámetros (5.3 La Distribución Exponencial - Introducción a La Estadística Empresarial | OpenStax, n.d.)[pic 17]

, para x > 0[pic 18]

Mediante la distribución exponencial podemos obtener números pseudoaleatorios con variables aleatorias continuas con parámetro  para ello se usa el algoritmo mencionado anteriormente, método de la transformada inversa, la cual genera valor de   a partir de una variable aleatoria U ~ U(0,1) se utiliza el siguiente algoritmo [pic 19][pic 20]

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