Algebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado

Aplicaciones de transformaciones lineales

En álgebra abstracta y en álgebra lineal una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.

Definicion:

Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla los siguientes axiomas:

1.- T(u+v) = T(u)+T(v)

2.- T(ku) = kT(u)

3.- Generalmente a las transformaciones lineales se les identifica con L(V,W)= conjunto de aplicaciones lineales de V a W . Se puede considerar como la unión de los axiomas anteriores del siguiente axioma:

f ([pic 1]

Proposición:

Sea f : V → W una transformación lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V, entonces f(S) es un subespacio de W.
2. Si T es un subespacio de W, entonces (W) es un subespacio de V. [pic 2]

 Ejemplos:

1.- Determine si la siguiente aplicaion lineal se puede considerar trasnformacion lineal si u=(x1,y1) y v=(x2,y2)

f : [pic 3]

f (x,y) = (x+y ; x-2y)

Este ejercicio lo realizaremos mediante el tercer axioma que dice que se puede considerar la unión de los axiomas anteriores.

[pic 4]

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Si es una transformación lineal

2.-Demostrar que la siguiente función es una transformación lineal

f (x,y) =(-x,y) , siendo u=(x1,y1) ; v(x1,y2).

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Valores y vectores propios 

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ  recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio λ es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Definición:

Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Sea A: V → V un operador lineal en un cierto K-espacio vectorial V y v un vector no nulo en V. Si existe un escalar c tal que :

Av=cv  ; v[pic 25]

entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z.

Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices

Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico.

Cálculo de los valores propios

Una herramienta importante para encontrar valores propios de matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales A v = λ v → A v - λ v = 0 (factorizando por v queda) (A- λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad) tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente al determinante:

det(A−λI)=0

Cálculo de los vectores propios

Una vez que se conocen los valores propios λ, los vectores propios se pueden hallar resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo:

(A−λI)v=0

Una forma más sencilla de obtener vectores propios sin resolver un sistema de ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Así, si λ1,λ2,...,λn son los valores propios de A se cumple que:

(A−λ1I)(A−λ2I)...(A−λnI)=0

Por lo que los vectores columna de(A−λ2I)...(A−λnI) son vectores propios deλ1.

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