Algebra.

Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos: 2x-y+3z=5 ; x+2y-z+2=0 y es paralelo al vector (2,-1,-2)

PASO 1: hallar la recta intersección r de los dos planos

primero hallamos el vector de dirección V de la recta r. Este vector se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales N1 y N2 de los planos. Entonces:

N1 = (2,-1,3)

N2 = (1,2,-1)

entonces:

|i j k|

V = N1xN2 = |2 -1 3| = [(-1)(-1) - (2)(3)]i - [(2)(-1) - (1)(3)]j + [(2)(2) - (1)(-1)]k ?

|1 2 -1|

V = [(1 - 6)]i - [(-2 - 3)]j + [(4 + 1)]k ?

V = -5i + 5j + 5k ?

V = (-5,5,5)

simplificamos entre 5:

V = (-1,1,1)

para obtener la ecuación de la recta r, necesitamos un punto P(x1,y1,z1) que pertenezca a ambos planos. Para ello damos un valor arbitrario a una de las coordenadas y obtenemos las otras dos. Daremos el siguiente valor arbitrario: x1 = 1

sustituimos el valor arbitrario en las dos ecuaciones de los planos:

2x - y + 3z = 5 ?

x + 2y - z + 2 = 0 ?

2(1) - y + 3z = 5 ?

1 + 2y - z + 2 = 0 ?

2 - y + 3z = 5 ?

2y - z + 3 = 0 ?

-y + 3z = 5 - 2 ?

2y - z = 0 - 3 ?

-y + 3z = 3

2y - z = -3

nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Multiplicamos las primer ecuación por 2:

-2y + 6z = 6

2y - z = -3

sumamos miembro a miembro:

-2y + 6z + 2y - z = 6 - 3 ?

5z = 3 ?

z1 = 3/5

hallamos y1:

-y + 3z = 3 ?

-y1 + 3z1 = 3 ?

-y1 + 3(3/5) = 3 ?

-y1 + 9/5 = 3 ?

-y1 = 3 - 9/5 ?

-y1 = 15/5 - 9/5 ?

-y1 = 6/5 ?

y1 = -6/5

por lo tanto, el punto P(x1,y1,z1) perteneciente a ambos planos y por lo tanto a la recta r es:

P(1,-6/5,3/5)

entonces, la ecuación de la recta r será:

(x,y,z) = P + tV ?

(x,y,z) = (1,-6/5,3/5) + t(-1,1,1) ? ECUACION VECTORIAL RECTA r

en forma paramétrica:

x = 1 - t

y = -6/5 + t

z = 3/5 + t

PASO 2: hallar plano p perpendicular al vector (2,-1,-2) que pase por el punto P(1,-6/5,3/5)

la razón de la hallar este plano p, es porque este plano contiene el vector normal que será la solución del problema planteado

ecuación del plano p:

N•(x,y,z) = N•Q ?

(2,-1,-2)•(x,y,z) = (2,-1,-2)•(2,-1,-2) ?

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