Como se da un nuevo Pensamiento matematico

Vamos a garantizar que la operación * en el conjunto L5 ={(x,y) tales que y=5.x, con x є R} , cumple con las propiedades Calusurativa, Asociativa, Conmutativa, elemento neutro, elemento opuesto, teniendo en cuenta que la operación * en el conjunto L5   funciona así:

(r,t)* (m,n)=(r+m,t+n)

Antes de iniciar la demostración, es recomendable entender quién es el conjunto L5  y también, como debemos aplicar la operación *, para ello, nos daremos los siguientes ejemplos.

1. Los elementos de L  son parejas ordenadas como (1,5), (2,10),(-1,-5), (-7, -35). …..etc.
2. La operación * funciona asi: (1,5)*(-7,-35)=(1+(-7),5+(-35))=(-6, -30)

                                                    (4,20)*(-1,-5)=(4+(-1) , 20+(-5))=(3, 15)

Nota: En la demostración con ejemplos, es repetir lo mismo que se hizo en la demostración general, pero reemplazando las letras con los números que correspondan. (Observe como se hizo con la propiedad Clausurativa).

PROPIEDAD CLAUSURATIVA

Demostración general

Demostración con ejemplos

Tomemos elementos cualesquiera (r,t), (m,n) del conjunto L5 , es decir, (r,t)=(r,5.r) y  también (m,n) =(m,5.m)  

Tomemos elementos cualesquiera (2,10), (3,15) del conjunto L5 , es decir, (2,10)=(2,5.2) y  también (3,15) =(3,5.3)  

Debemos ver que (r,t)* (m,n)  es un elemento de L5 , es decir, tienen la misma forma de los elementos de L5   

Por la definición de elementos de L5

(r,t)* (m,n) =(r,5.r)* (m,5.m)  

(2,10)* (3,15) =(2,5.2)* (3,5.3)  

Por la definición de la operación *

Por la definición de la operación *

(r,t)* (m,n) =(r+m,5.r+5.m)

(2,10)* (3,15) =(2+3, 5.2+5.3)  

Por la propiedad distributiva de la multiplicación y suma de números reales (R)

Por la propiedad distributiva de la multiplicación y suma de números reales (R)

(r,t)* (m,n) =(r+m,5.(r+m))

(2,10)* (3,15) =(2+3, 5.(2+3))

Como la suma (+)  es clausurativa en los números reales, entonces, r+m es un número real y también 5.(m+r), por ello

Como la suma (+)  es clausurativa en los números reales, entonces, 2+3 es un número real y también 5.(2+3), por ello

(r,t)* (m,n) =(r+m,5.(r+m)) tiene la forma de los elementos de L5 

(2,10)* (3,15) =(2+3, 5.(2+3)) tienen la forma de los elementos de L5 

Luego,  (r+m,5.(r+m))  pertenece a L5 , es decir,

Luego (2+3, 5.(2+3)) pertenece a L5  , es decir,

(r,t)* (m,n) є L5 

(2,10)* (3,15) є L5

Por lo tanto se cumple la propiedad  Calusurativa de la operación * en el conjunto L5 .

PROPIEDAD ASOCIATIVA

Demostración general

Demostración con ejemplos

Demostración general

Tomemos elementos cualesquiera (r,t), (m,n), (p,q) del conjunto L5 

Tomemos elementos cualesquiera (2,10), (3,15), (4,20) del conjunto L5 

luego , (r,t)=(r,5.r) y  (m,n) =(m,5.m)   y (p,q) =(p,5.p)

(2,10)=(2,5.2) y (3,15) = (3,5.3) y (4,20)=(4,5.4)

Debemos ver que [(r,t)* (m,n)]*(p,q) =( r,t)*[ (m,n)*(p,q)]

[(2,10)* (3,15)]* (4,20) = (2,10)* [(3,15)*(4,20)]

Empezamos notando que por la definición de elementos de L5

[(r,t)* (m,n)]*(p,q) =[(r,5.r)* (m,5.m) ]*(p,5.p)

(r,t)*[ (m,n)*(p,q)]=(r,5.r)*[(m,5m)*(p,5.p)]

[(2,10)* (3,15)]*(4,20) =[(2,5.2)* (3,5.3) ]*(4,5.4)

(2,10)*[(3,15)*(4,20)]=(2,5.2)*[(3,5.3)*(4,5.4)]

Por la definición de la operación * en el conjunto L5 

[(r,t)* (m,n)]*(p,q) =[(r+m), (5.r+5.m) ]*(p,5.p)

(r,t)*[(m,n)*(p,q)]=(r,5.r)*[(m+p),5.m+(5.p)]

[(2,10)* (3,15)]*(4,20) =[(2+3), (5.2+5.3) ]*(4,5.4)

(2,10)*[(3,15)*(4,20)]=(2,5.2)*[(3+4),5.3+(5.4)]

Por la definición de la operación *

[(r,t)* (m,n)]*(p,q) =((r+m)+p, (5.r+5.m) +5.p)) 

(r,t) *[(m,n)*(p,q)]=(r+(m+p),5.r+(5.m+5.p))

[(2,10)* (3,15)]*(4,20) =((2+3)+4, (5.2+5.3) +5.4))

(2,10)*[(3,15)*(4,20)]=(2+(3+4),5.2+(5.3+5.4)) 

Por la propiedad Asociativa de la suma de números reales (R)

  [(r,t)* (m,n)]*(p,q) =(r+(m+p),5.r+(5.m+5.p)

(r,t)*[ (m,n)*(p,q)]=(r+(m+p),5.r+(5.m+5.p))

  [(2,10)* (3,15)]*(4,20) =(2+(3+4),5.2+(5.3+5.4)

(2,10)*[(3,15)*(4,20)]=(2+(3+4),5.2+(5.3+5.4))

Por lo anterior claramente vemos que se cumple la propiedad asociativa

PROPIEDAD CONMUTATIVA

Demostración general

Demostración con ejemplos

Tomemos elementos cualesquiera (r,t), (m,n) del conjunto L5 , luego , (r,t)=(r,5.r) y  (m,n) =(m,5.m)  

Tomemos elementos cualesquiera (2,10), (-3,-15) del conjunto L5 , es decir, (2,10)=(2,5.2) y  (-3,-15)= (-3,5.(-3))

Debemos ver que (r,t)* (m,n)= m,n)* (r,t)

(2,10)*(-3,-15)=(-3,-15)=(2,10)

Por la definición de elementos de L5

(r,t)* (m,n) =(r,5.r)* (m,5.m)  

(m,n)* (r,t)=(m,5.m)*(r,5.r)

(2,10)*(-3,-15)=(2,5.2)*(-3,5.-3)  

(-3,-15)* 2,10)=((-3),5.(-3))*(2,5.2)

Por la definición de la operación *

(r,t)* (m,n) =(r+m,5.r+5.m)

(m,n)* (r,t)=(m+r,5.m+5.r)

(2,10)*(-3,-15)=(2+(-3),5.2+5.(-3))

(-3,-15)* (2,10)=((-3)+2,5.(-3)+5.2)

Por la definición de la operación *

(r,t)* (m,n) =(r+m,5.r+5.m)

(m,n)* (r,t)=(m+r,5.m+5.r)

(2,10)*(-3,-15)=(2+(-3),5.2+5.(-3))

(-3,-15)* (2,10)=((-3)+2,5.(-3)+5.2)

Por la propiedad distributiva de la multiplicación y suma de números reales (R)

(r,t)* (m,n) =(r+m,5.(r+m))

(m,n)* (r,t)=(m+r,5.(m+r))

(2,10)* (-3,-15) =(2+(-3),5.(2+(-3)))

(-3,-15)* (2,10)=((-3)+2,5.((-3)+2))

Como la suma (+)  es conmutativa en los números reales, entonces, r+m=m+r, por lo tanto,

(r,t)* (m,n) =(r+m,5.(r+m))

(m,n)* (r,t)=( =(r+m,5.(r+m))

(2,10)* (-3,-15) =(2+(-3),5.(2+(-3)))

(-3,-15)* (2,10)=( =(2+(-3),5.(2+(-3)))

Por lo anterior claramente vemos que se cumple la propiedad conmutativa

PROPIEDAD ELEMENTO NEUTRO

Demostración general

Demostración con ejemplos

Tomemos elemento cualquiera (r,t) del conjunto L5 , es decir, (r,t)=(r,5.r)

Tomemos elemento cualquiera (4,20) del conjunto L5 , es decir, (4,20)=(4,5.4)

Debemos ver que existe un elemento  en L5  de tal forma que (r,t)* (0,0)= (r,t)

Debemos ver que existe un elemento  en L5  de tal forma que (4,20)* (0,0)= (4,20)

Después de analizar con mucho cuidado, vemos que ese elemento de  L5 que estamos buscando es (0,0).

Ahora asegurémonos que ese elemento de L5  es el que nos sirve para nuestro propósito

(r,t)* (0,0) =(r,t)* (0,0)  

(0,0)* (r,t)=(0,0)*(r,t)

(4,20)* (0,0) =4,20)* (0,0)  

(0,0)* (4,20)=(0,0)*(4,20)

Por la definición de los elementos de L5 

(r,t)* (0,0) =(r+0,5.r+5.0)

(0,0)* (r,t)=(0+r,5.0+5.r)

(4,20)* (4,20) =(4+0,5.4+5.0)

(0,0)* (4,20)=(0+4,5.0+5.4)

Por la definición de la operación *

(r,t)* (0,0) =(r+0,5.r+5.0)

(0,0)* (r,t)=(0+r,5.0+5.r)

(4,20)* (0,0) =(4+0,5.4+5.0)

(0,0)* (4,20)=(0+4,5.0+5.4)

Por la propiedad distributiva de la multiplicación y suma de números reales (R)

(r,t)* (0,0) =(r+0,5.(r+0))

(0,0)* (r,t)=(0+r,5.(0+r))

(4,20)* (0,0) =(4+0,5.(4+0))

(0,0)* (4,20)=(0+4,5.(0+4))

Como 0  es elemento neutro de la suma (+)  en los números reales, entonces, r+0=r   y también, 0+r=r, por lo tanto

(r,t)* (0,0) =(r,5.(r))

(0,0)* (r,t)=(r,5.(r))

(4,20)* (0,0) =(4,5.(4))

(0,0)* (4,20)=(4,5.(4))

Por lo anterior claramente vemos que se cumple la propiedad del elemento neutro de la operación * en el conjunto L5 

PROPIEDAD ELEMENTO OPUESTO

Demostración general

Demostración con ejemplos

Tomemos elemento cualquiera (r,t) del conjunto L5 , es decir, (r,t)=(r,5.r)

Tomemos elemento cualquiera (2,10) del conjunto L5 , es decir, (2,10)=(2,5.2)

Debemos ver que existe un elemento (n,m)  en L5  de tal forma que (r,t)* (n,m)= (0,0)

Debemos ver que existe un elemento (-2,-10)  en L5  de tal forma que (2,10)* (-2,-10)= (0,0)

Después de analizar con mucho cuidado, vemos que ese elemento de  (n,m) de  L5 que estamos buscando es (-r,-t).

Después de analizar con mucho cuidado, vemos que ese elemento de  (-2,-10) de  L5 que estamos buscando es (-2,-10).

Ahora asegurémonos que ese elemento de L5  es el que nos sirve para nuestro propósito

Por definición  (n,m)=(-r,5(-r))

Por definición  (-2,-10)=(-2,5(-2))

Luego

(r,t)* (n,m) =(r,5.r)* (-r,5.(-r))  

(n,m)* (r,t)=(-r,5.(-r))*(r,5.r)

(2,10)*(-2,-10)=(2,5.2)*(-2,5.(-2))  

(-2,-10)* (2,10)=(-2,5.(-2))*(2,5.2)

Por la definición de la operación *

(r,t)* (n,m) =(r+(-r),5.r+5.(-r))

(n,m)* (r,t)=(-r+r,5.(-r)+5.r)

(2,10)* (-2,-10) =(2+(-2),5.2+5.(-2))

(-2,-10)* (2,10)=(-2+2,5.(-2)+5.2)

Por la propiedad distributiva de la multiplicación y suma de números reales (R)

(r,t)* (n,m) =(r+(-r),5.(r+(-r)))

(n,m)* (r,t)=((-r)+r,5.((-r)+r))

(2,10)* (-2,-10) =(2+(-2),5.(2+(-2)))

(-2,-10)* (2,10)=((-2)+2,5.((-2)+2))

Como –r   es elemento opuesto de r en  la suma (+)  de los números reales, entonces, r+(-r)=0   y también, (-r)+r=0, por lo tanto,

(r,t)* (n,m) =(0,0)

(n,m)* (r,t)=(0,0)

(2,10)* (-2,-10) =(0,0)

(-2,10)* (2,10)=(0,0)

Por lo anterior claramente vemos que se cumple la propiedad del elemento opuesto de la operación * en el conjunto L5