DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MUESTRAL

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MUESTRAL

“Las ciencias aplicadas no existen, sólo las aplicaciones de las ciencias”

Bertrand Russell

“La tecnología y la ESTADÍSTICA son expresiones depuradas de las mismas ciencias naturales”

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Población y muestra

En epistemología se reconoce el método inductivo como aquel que trasciende de un estado particular a uno más general y como método deductivo aquel que de lo general particulariza.

En estadística estableceremos una analogía entre estado particular y muestra aleatoria y entre estado general y población.

De esta forma entenderemos la inferencia estadística como el método que permite pronosticar el comportamiento de una población en estudio a partir de cálculos y consideraciones realizados sobre una subcolección de la población denominada muestra aleatoria, es decir, inferir es inducir.

Entenderemos la teoría de probabilidad como el método que permite hacer afirmaciones sobre subpoblaciones a partir de la población, es decir, la teoría de probabilidad corresponde al método deductivo.

Cuando nos interesa observar una población, fijamos como objetivo la determinación sus parámetros poblacionales de siendo los más usuales la media poblacional [pic 1] y la varianza poblacional [pic 2].   Para determinar dichos parámetros se hace necesario observar el comportamiento probabilístico de dos variables aleatorias muestrales que son la media [pic 3] y la varianza [pic 4].

Al seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n podemos aproximamos a [pic 5] así:  [pic 6],  a  [pic 7]  así:   [pic 8].   [pic 9]  estima a  [pic 10]  cometiendo un error [pic 11] y s estima a [pic 12] con una corrección k, la determinación de [pic 13] y k será el propósito de la teoría de estimación.

k y [pic 14] son errores que dependen de la naturaleza probabilística de la población de la cual se extrajo la muestra.

El siguiente esquema ilustra lo que hasta aquí se ha dicho:

[pic 15]

donde si n es el tamaño de la muestra los valores de [pic 16] y [pic 17] se calculan mediante las formulas:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

En principio diremos que la población consta de todas las observaciones que son de interés, cuando la población es finita de tamaño N, la muestra aleatoria será una n-tupla de observaciones [pic 21]  donde cada n-tupla tendrá la misma probabilidad de ser elegida, esto es [pic 22]                

Cuando la población es infinita [pic 23] una muestra de observaciones se considera aleatoria si la n-tupla [pic 24] está conformada por selecciones independientes e idénticamente distribuidas (iid), o sea [pic 25] para todo i, donde [pic 26] representa la distribución de probabilidad asociada a [pic 27] :   [pic 28].

La característica o magnitud que interesa observar en una población a través de una muestra es usualmente una variable aleatoria discreta o continua cuya función de distribución de probabilidad es aquella que rige el comportamiento probabilístico de la población.  En ocasiones esta función es una distribución teórica conocida:  geométrica, binomial, normal, poisson, etc.    En estos casos afirmaremos que la población es normal, o es binomial, etc.  En otras situaciones la población tendrá una función de densidad de probabilidad -fdp- que deberá ser construida a partir del muestreo.

Función de probabilidad conjunta asociada a una muestra aleatoria

Consideremos una población regida por una fdp f y seleccionemos una muestra aleatoria con n observaciones  [pic 29],  sabemos que las [pic 30]   son valores de n variables aleatorias iid definimos la fdp conjunta así:

[pic 31]

Valor esperado de una función de una variable aleatoria n-dimensional

Supóngase que [pic 32] es el valor de una función de n variables aleatorias cuya fdp conjunta es  [pic 33] entonces el valor esperado de g es

[pic 34]

si las variables aleatorias [pic 35]  son continuas.

Proposición 1

Si una muestra aleatoria de tamaño n  se elige de una población finita de tamaño N con media  [pic 36] y varianza  [pic 37],  entonces  [pic 38] es un valor de una variable aleatoria cuyo valor esperado, su media, será [pic 39] y cuya varianza será [pic 40].

Prueba.

La realizaremos en el caso continuo.   Por definición  [pic 41]

[pic 42]

aquí f es la fdp conjunta de una n-tupla aleatoria de variables iid, esto es:

[pic 43]

Podemos intercambiar la integral múltiple con el símbolo de sumatoria bajo el supuesto de que la esperanza [pic 44] es finita y escribimos

[pic 45]

la condición de independencia permite factorizar la integral múltiple en  n  integrales simples

    [pic 46]

en esta expresión  [pic 47]    y    [pic 48]

de forma que

[pic 49]

Para probar el caso discreto se cambian las integrales por sumatorias.  Obsérvese que cuando el tamaño de la muestra sea mucho menor que la población (n << N) , el factor (N - n)/(N -1)  es aproximadamente 1, es decir

[pic 50]

Así quedaría por probar que [pic 51]

Demostración análoga a la realizada, ayudándose, sin pérdida de generalidad bajo la condición [pic 52], es decir, planteando el cálculo de [pic 53] y utilizando el hecho de que

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