DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Definición

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerándolas tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

En estadística, dada una variable aleatoria X , la distribución de probabilidad de X es la función

F X(x ), que asigna a cada evento definido sobre X una probabilidad, que está definida por:

y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

2.Es continua por la derecha.

3. Es monótona no decreciente.

Para simplificar la notación, cuando no hay lugar a confusión se omite el subíndice X , y se escribe simplemente (x).

La función de distribución es la acumulada de la función de densidad de probabilidad(x). Es decir, se calcula directamente según:

Si x es una variable aleatoria discreta

Si x es una variable aleatoria continua

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos:

Variable aleatoria discreta (x).Porque solo puede tomar valore enteros y un número finito de ellos. Por ejemplo:

•x→Variable que nos define el número de alumnos a probados en la materia de probabilidad en un grupo de 40alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).

Variable aleatoria continua (x).Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Por ejemplo:

•x→Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral (14.8 gr, 12.1,10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, …,∞)

Distribuciones de variable discreta

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor .

DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito, o su contrario A’, llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p(A’)= 1 – p = q

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli

.En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

Un ejemplo de variable binomial puede ser el número de pacientes ingresados en una

unidad hospitalaria que desarrollan una infección nosocomial.

Un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la distribución de Bernoulli.

Valores:

x: 0, 1, 2, ..., n

Parámetros:

n: número de pruebas, n > 0 entero

p: probabilidad de éxito, 0 < p < 1

Distribución Hipergeométrica (N,R,n)

En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta contres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad es:

N= Tamaño de población.

n= Tamaño de muestra.

d= Cantidad de elementos que cumple característica deseada.

x= Cantidad de éxitos.

La distribución hipergeométrica suele aparecer en procesos muestrales sin reemplazo, en los que se investiga la presencia o ausencia de cierta característica.

Por ejemplo, en un procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición.

Durante las pruebas, las cápsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote del que provienen. En esta situación, la variable que cuenta el número de cápsulas que no cumplen los criterios de calidad establecidos sigue una distribución hipergeométrica. Por tanto, esta distribución es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se hace sin reemplazo.

Esta distribución se puede ilustrar del modo siguiente: se tiene una población finita con N

elementos, de los cuales R tienen una determinada característica que se llama “éxito”(diabetes, obesidad, hábito de fumar, etc.).

El número de “éxitos” en una muestra aleatoria de tamaño n, extraída sin reemplazo de la población, es una variable aleatoria con distribución hipergeométrica de parámetros N, R y n.

Cuando el tamaño de la población es grande, los muestreos con y sin reemplazo son

equivalentes, por lo que la distribución hipergeométrica se aproxima en tal caso a la

binomial.

Distribución de Poisson

El trabajo estaba enfocado en ciertas variables aleatorias N que cuentan, entre otras cosas, un número de ocurrencias discretas (muchas veces llamadas "arribos")

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