Distribución Probabilidad

¿Qué es una variable aleatoria?

¿Cómo se clasifican las variables aleatorias?

¿Qué es una variable aleatoria Discreta? De un ejemplo.

¿Qué es una variable aleatoria Continua? De un ejemplo.

Complete el siguiente cuadro.

EXPERIMENTO VARIABLE ALEATORIA DATOS CLASIFICACIÓN

Llenar una lata de bebida Cantidad en onzas

Llamar a cinco clientes

Inspeccionar un embarque de 50 radios.

Pesar un embarque de productos.

¿Qué es una distribución discreta de probabilidad?

¿Qué condiciones se requieren para que quede bien definida una distribución discreta de probabilidad?

La tabla siguiente es una distribución parcial de probabilidades de las utilidades proyectadas de MRA y Compañía (X = utilidad en miles de dólares) durante el primer año de operación (El valor negativo presenta pérdida).

X F(x)

-100 0.10

0.20

0.30

0.25

0.10

?

a. ¿Cuál es el valor adecuado de F(200) ?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que MRA sea rentable?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que MRA gane al menos $100000 dólares?

¿Qué es el valor esperado o media de una variable aleatoria?

¿Cómo se calcula el valor esperado para una variable aleatoria discreta?

¿ Cómo se calcula la varianza para una variable aleatoria discreta?

Un servicio voluntario de ambulancias maneja de 0 a 5 llamadas en cualquier día. La distribución de probabilidades de la cantidad de llamadas de servicio se muestra en la tabla siguiente:

Cantidad de llamadas Probabilidad

0.10

0.15

0.30

0.20

0.15

0.10

a ¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas de servicio?

b. ¿Cuál es la varianza de la cantidad de llamadas de servicio? ¿Cuál es la desviación estándar?

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Propiedades de un experimento Binomial:

El experimento consiste en una serie de n ensayos idénticos

En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le llama éxito y al otro se le llama fracaso.

La probabilidad de éxito, que se denota P, no cambia de un ensayo a otro. Por ende, la probabilidad de fracaso, que se denota 1-P, tampoco cambia de un ensayo a otro.

Los ensayos son independientes.

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución Binomial de parámetros n y p, se escribe: X ~ B(n,p)

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número de treses obtenidos: X ~ B(10, 1/6)

Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número de caras obtenidas.

Características analíticas

Su función de probabilidad es f(X)= (n¦x) px (1-p)n-x donde x= { 0, 1, 2, …..,n} siendo (n¦x) = n!/(x!(n-x)!) las combinaciones de n en x (n elementos tomados de x en x).

Propiedades características: Є(X) = n.p y Var (X)= n.p.(1-p)

EJEMPLOS

Cuando una máquina nueva funciona adecuadamente, solo 3% de los artículos producidos presentan algún defecto. Suponga que selecciona aleatoriamente tres piezas producidas con la nueva máquina y que busca el número de piezas defectuosas.

Describa las condiciones en que este será un experimento binomial

¿Cuántos artículos se puede esperar que resulten defectuosos en esta muestra?

Calcule la Varianza y la Desviación estándar

Hallar la probabilidad de que: No haya piezas defectuosas, Haya exactamente una pieza defectuosa, Haya máximo dos piezas defectuosas, Haya por lo menos una pieza defectuosa.

10% de los carros no cuentan con un seguro. En un fin de semana determinado hubo 5 autos que sufrieron un accidente en la ciudad.

¿Cuál es el número esperado de autos que no cuentan con un seguro? ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

Hallar la probabilidad de que: Solo un carro cuente no cuente con seguro, Ningún carro cuente con seguro, Mas de un carro no cuente con seguro, Menos de tres carros no cuenten con seguro

Nota: Teoría y problemas tomados de:

ESTADISTICA para Administración y Economía, ANDERSON, SWEENEY, WILLIAMS. Cengage Learning Editores. 10ª Edicion. 2008

es.wikipedia.org/wiki/Experimento_de_Bernoulli y es.wikipedia.org/wiki/Distribución_binomial

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra de n elementos de la población original

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Propiedades

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

donde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría

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