Distribuciones De Probabilidad

Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio.

Distribuciones continuas. Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier, valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la estatura de un estudiante.

Si la variable aleatoria X asume valores de X1, X2,..., Xk con iguales probabilidades, entonces la distribución uniforme es:

Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como:

Juegos de azar.

Control de calidad de un producto.

En educación.

En las finanzas.

La distribución binomial posee las siguientes propiedades esenciales:

1.- El espacio muestral contiene n ensayos idénticos.

2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos de muestreo.

Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una población infinita sin reposición o de una población finita con reposición.

3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito E o fracaso E', las cuales son mutuamente excluyentes es decir

4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en un ensayo se mantienen constantes, durante los n ensayos.

5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación.

La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E' ocurra (n - x) veces en n ensayos independientes está dado por la fórmula binomial:

Donde:

p = Probabilidad característica o probabilidad de éxito.

q = Probabilidad de fracaso

x = Número de éxitos deseados

n = Número de ensayos efectuados

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN

El cálculo de estas magnitudes pueden realizarse con las siguientes fórmulas:

Ocurre cuando en el experimento binomial cada intento tiene más de dos resultados posibles.

Las probabilidades de ocurrencia p1, p2,..., pk en un solo ensayo, la distribución de probabilidad de las variables aleatorias k1, k2,..., kn que representan el número de ocurrencias de E1, E2,..., En en n intentos independientes es:

Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio

muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otras observaciones anteriores.

Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.

Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios entonces, la probabilidad de que en n ensayos x pertenezca a M y (n - x) pertenezca a (N - M) está dada por:

Gráficamente se puede representar como:

Donde:

N = El tamaño de espacio muestral S

n = El número de ensayos

M = El número de éxitos en el espacio muestral

N - M = Número de fracasos del espacio muestral

x = Número de éxitos en la muestra

n - x = Número de fracasos de la muestra.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN

El cálculo de estas magnitudes pueden realizarse con las siguientes fórmulas:

Si N resultados pueden dividirse en la k celdas N1, N2, ..., Nk con k1 ,k2, ..., kn elementos respectivamente, entonces la distribución de probabilidad representa el número de elementos selecionados, en una muestra aleatoria de tamaño n, es:

Esta función de distribución de variable discreta se emplea para calcular las probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo de tiempo o espacio; este intervalo es generalmente una unidad de medida conocida: cm2, km, gramos, litros, pulgadas, etc.

Algunos de los problemas que presentan como un fenómeno con distribución de Poisson son:

 Los embotellamientos que se producen por día.

 Número de llamadas por hora.

 Defectos por m2 de tela.

 Número de defectos por lote de un proceso de producción.

 Número de negocios cerrados por semana.

A este tipo de problemas se les conoce el número de éxitos x obtenidos por unidad de medida en n ensayos; pero es totalmente imposible conocer el número de fracasos (n - x).

Se dice que se da un proceso de Poisson si se pueden observar eventos discretos en un intervalo continuo en forma tal que si se acorta el intervalo lo suficiente:

1.- La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es estable.

2.- La probabilidad de observar dos o más éxitos en el intervalo es cero.

3.- La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente independiente de que suceda en cualquier otro intervalo.

La distribución de Poisson se expresa mediante la siguiente fórmula.

Donde:

n = Número de ensayos

x = Número de éxitos esperados en n ensayos

e = 2.71828...

λ = n p = Constante igual al número de éxitos promedio por unidad de medida

p = Probabilidad constante durante el proceso igual al número de éxitos promedio por unidad de medida.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN

El cálculo de estas magnitudes pueden realizarse con las siguientes fórmulas:

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE

CONTINUA

Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las distribuciones estadísticas de variable continua. Estas se obtienen empíricamente (experimentando u observando). Aquellas son distribuciones teóricas.

Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen por medio de una función y = f(x) que se llama función de probabilidad o función

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