ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma . donde no se anula a.

Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Número de soluciones

Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos.

Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula

LLamamos discriminante , en función del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de la ecuación, así:

- Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.

-

Si el discriminante es 0 hay una solución.

-

Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.

Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0 , despejando se llega:

Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0

Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.

Sacando factor cumún se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0 ; ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.

Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x=0

Ecuación bicuadrada:

Una ecuación bicuadrada tiene la siguiente estructura .

Para su resolución se realiza el cambio de variable quedando la ecuación

Se resuelve la ecuación de segundo grado obteniéndose dos soluciones , luego deshacemos el cambio para determinar las soluciones de .

Deshacemos el cambio

EJERCICIOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

• 7x2 + 21x − 28 = 0

• −x2 + 4x − 7 = 0

• 12x2 − 3x = 0

•

2.- Halla las soluciones de las ecuaciones:

•

•

3.- Resuelve:

• x4 − 61x2 + 900 = 0

• x4 − 25x2 + 144 = 0

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones completas:

a) x2 + 7x + 12 = 0

b) x2 – 7x – 18 = 0

c) x2 + 2x – 15 = 0

d) 2x2 + 11x + 5 = 0

5.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 25x (x+1) = -4

b) 2x (x+3) = 3 (x-1)

c) (2x-3)2 = 8x

d) 2x (3x – 4) – (1 – 3x) (1 + x) = -2

e)

f)

6.- Resuelve las siguientes ecuaciones completas:

a) 2x2 – 3x – 2 = 0

b) 3x2 + 10x – 8 = 0

c) 4x2 – 29x + 7 = 0

d) 2x2 + 7x – 15 = 0

e) 2x2 + 7x – 15 = 0

f) 3x2 + 8x – 6 = 0

g) 10x2 – x – 3 = 0

h) 5x2 – 7x + 2 = 0

i) 6x2 – 11x – 7 = 0

7.- Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.

8.- La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

9.- Dentro de 11 años

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