Estimacion De Intervalos

2.0 Estimación por intervalos:

Sucede que al estimar un parámetro, incluso utilizando un estimador de mínima varianza, no se obtiene una estimación exacta del mismo. A no ser que conozcamos la población en su totalidad, no podemos estar seguros de que la estimación puntual de la muestra proporcione el verdadero valor del parámetro.

Por ello son muchas las situaciones en las que interesa encontrar un intervalo entre cuyos valores extremos se espera que este de el valor del parámetro.

Un intervalo así representa una estimación de la distancia probable entre el valor del parámetro y el valor del estimador que se utiliza para su estimación. Por este motivo, se le llama intervalo de confianza, ya que habrá una confianza razonable de que contenga el valor del parámetro.

Las estimaciones por intervalo se basan en las estimaciones puntuales, por lo que su estudio se apoya en el conocimiento de los estimadores y el tipo de distribución de estos.

En numerosas situaciones es conveniente, por lo tanto, determinar un intervalo que cubra el valor del parámetro con una cierta probabilidad. E este caso que se plantea en el siguiente ejemplo:

Un equipo de profesores de educación física esta interesado en conocer el número medio de flexiones continuas que realizan sus alumnos. Para ello, seleccionan una muestra aleatoria de 80 estudiantes, que realizan una prueba cuyos resultados figuran en la siguiente tabla:

N° de flexiones 35 41 45 46 48 50 52 53 54 56 60

N° de alumnos 5 6 5 2 10 15 6 11 10 5 5

Una primera estimación la proporciona el valor particular de la media muestral:

El principio, este valor de aproximadamente 50 flexiones será tomado como estimación de la media dela población.

Los profesores saben que esta estimación no tiene por qué coincidir con el verdadero valor del parámetro, debido fundamentalmente al error de muestreo. Por ello, desean estimar un intervalo de valores en el que hay una probabilidad alta que se encuentre el valor que trata de estimar.

Les interesa, por lo tanto, encontrar un intervalo que les permita conocer el grado de aproximación al verdadero valor del numero medio de flexiones de la población y que les proporcione una cierta garantía o confianza de que contenga dicho valor. Tal intervalo recibe el nombre de intervalo de confianza.

2.1 Intervalo de confianza (definición)

La estimación por intervalo de un parámetro poblacional λ consiste en hallar un par de estadísticos (λ_1,λ_2), que van a corresponder a los extremos de l intervalo, a los que se les llama limites de confianza.

Se trata, por tanto, de una variable aleatoria bidimensional (λ_1,λ_2), cuya distribución de pende de la distribución del estimador del parámetro poblacional.

Por tratarse de una variable aleatoria, tiene sentido hablar de probabilidad que el intervalo cubra el verdadero valor del parámetro.

P (λ_1≤λ≤λ_2)

Donde λ_1 y λ_2 son limites aleatorios inferior y superior.

A esta probabilidad se le llama coeficiente de confianza, y se denota por 1-a, siendo a un numero real comprendido entre cero y uno, al que se le llama nivel de significación.

A los extremos del intervalo se les llama límites de confianza (inferior y superior).

Si a=0.05, es 1-a=0.95 y se habla, en este caso, de un intervalo de confianza del 95%. Si a=0.01 es 1-a=0.99, y se habla de un intervalo de confianza de un 99%.

Un intervalo de confianza del 99% resulta más amplio que un intervalo del 95%, y, por lo tanto, ofrece mayor garantía de contener al verdadero valor del parámetro. Sin embargo, lo que se gana en amplitud se pierde en precisión.

En efecto, si tomamos a=0, el intervalo estará formado por la recta real completa, pero no hemos conseguido información alguna; ya sabíamos que el parámetro era un número real.

Los valores mas usuales para a son a =0.05 o a =0.01, siendo preferible el valor de 0.05 que proporciona un intervalo de confianza del 95%; pero la elección dependerá, en cada caso, de las necesidades y exigencias del investigador.

Una vez seleccionado el nivel de significación a, hay que determinar a partir de la distribución del estadístico , dos valores λ_1 y λ_2 , que dependen de a ,tales que

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