Estimación puntual. estimación por intervalos de confianza.

TEMA 2: ESTIMACIÓN PUNTUAL. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA.

1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA

El objetivo básico de la inferencia estadística es hacer inferencias o sacar conclusiones sobre la población a partir de la información contenida en una muestra aleatoria de la población. Más específicamente, podemos decir que la inferencia estadística consiste en el proceso de selección y utilización de un estadístico muestral, mediante el cual, utilizando la información que nos proporciona una muestra aleatoria, nos permite sacar conclusiones sobre características poblacionales.

Cualquier inferencia o conclusión obtenida de la población, necesariamente, estará basada en un estadístico muestral, es decir, en la información proporcionada por la muestra (formalmente definimos un estadístico como una función de las observaciones muestrales). La elección del estadístico apropiado dependerá de cuál sea el parámetro poblacional que nos interese. El valor verdadero del parámetro será desconocido y un objetivo sería estimar su valor, por lo que tal estadístico se denomina estimador.

Las inferencias sobre el valor de un parámetro poblacional θ se pueden obtener básicamente de dos maneras: a partir de estimación o bien a partir del contraste de hipótesis.

En la estimación, basta seleccionar un estadístico muestral cuyo valor se utilizará como estimador del valor del parámetro poblacional.

En el contraste de hipótesis, se hace una hipótesis sobre el valor del parámetro θ y se utiliza la información proporcionada por la muestra para decidir si la hipótesis se acepta o no.

Ambos métodos de inferencia estadística utilizan las mismas relaciones teóricas entre resultados muestrales y valores poblacionales. Así pues, una muestra es sacada de la población y un estadístico muestral es utilizado para hacer inferencias sobre el parámetro poblacional. En estimación, la información muestral es utilizada para estimar el valor del parámetro θ. En el contraste de hipótesis, primero se formula la hipótesis sobre el valor de θ y la información muestral se utiliza para decidir si la hipótesis formulada debería ser o no rechazada.

Pero cuando se utiliza la inferencia para estimar un parámetro poblacional debemos decir cómo de buena es esa inferencia, o sea debemos dar una medida de su bondad. Para ello será necesario conocer la diferencia existente entre la estimación del parámetro poblacional, calculada a partir de una muestra específica de tamaño n, y el valor verdadero del parámetro poblacional.

2. EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN: ESTIMACIÓN PUNTUAL

La estimación estadística se divide en dos grandes grupos: la estimación puntual y la estimación por intervalos. La estimación puntual consiste en obtener un único número calculado a partir de las observaciones muestrales, y que es utilizado como estimación del valor del parámetro θ. Se le llama estimación puntual porque a ese número, que se utiliza como estimación del parámetro θ, se le puede asignar un punto sobre la recta real. En la estimación por intervalos se obtienen dos puntos ( un extremo inferior y un extremo superior) que definen un intervalo sobre la recta real, el cual contendrá con cierta seguridad el valor del parámetro θ.

El estimador del parámetro poblacional θ es una función de las variables aleatorias u observaciones muestrales y se representa por

=g ( )

Para una realización particular de la muestra ( ) se obtiene un valor específico del estimador que recibe el nombre de estimación del parámetro poblacional θ y lo notaremos por

= g ( )

Vemos pues que existe diferencia entre estimador y estimación. El estimador es un estadístico y, por tanto, una variable aleatoria y el valor de esta variable para una muestra concreta ( ) será la estimación puntual. El estimador θ tendrá su distribución muestral.

En la tabla 2.1 expresamos diferentes parámetros poblacionales, sus estimadores y sus estimaciones.

Parámetro

poblacional Estimador Estimación

Media

Varianza

Proporción

TABLA 2.1 Parámetros poblacionales, estimadores y estimaciones.

Para la elección de estos estimadores puntuales nos hemos basado, principalmente en la intuición y en la posible analogía de los parámetros poblacionales con sus correspondientes valores muestrales, pero éste no será el método más adecuado para la obtención de estimadores puntuales, aunque en este caso se obtienen estimadores satisfactorios para los parámetros poblacionales. En general, el problema de obtener estimadores puntuales no será tan sencillo, por ello tenemos que dar propiedades que serían deseables que se cumplieran por los diferentes estimadores puntuales obtenidos, aunque no existe un mecanismo o método único que nos permita obtener el mejor estimador puntual en todas las circunstancias.

Nuestro objetivo ahora será dar algunas propiedades deseables de los estimadores puntuales, con el fin de poder conocer la bondad de los mismos, pues cuantas más propiedades verifiquen los estimadores puntuales mejores serán.

* PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES PUNTUALES

a) Estimador insesgado

Si tenemos un gran número de muestras de tamaño n y obtenemos el valor del estimador en cada una

de ellas, sería deseable que la media de todas estas estimaciones coincidiera con el valor de μ .

Se dice que un estimador es insesgado si su esperanza matemática coincide con el valor del parámetro a

estimar.

b) Estimador eficiente

Se dice que los estimadores son eficientes cuando generan una distribución muestral con el mínimo

error estándar ,es decir, entre dos estimadores insesgados de un parámetro dado es más eficiente el de

menor varianza.

c) Estimador consistente

Un estimador se dice consistente cuando su valor tiende hacia el verdadero valor del parámetro a

medida que aumenta el tamaño de la muestra . Es decir, la probabilidad de que la estimación sea el

verdadero valor del parámetro tiende a 1.

d) Estimador suficiente

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