Iniciacion De Calculo Diferencia E Integral

Iniciación al Cálculo Diferencia e Integral

Arquímedes Caballero C.

CAPITULO I Variables y funciones

Variables y constantes

Toda cantidad cuyo valor no sufre variación durante cierto proceso se llama constante. La variable es aquella cuyo valor se altera.

Ejemplo 3x +2y = 6 x, y son variables 3, 2,6 constantes

1.2 Variables dependientes e independientes

Las variables a las que se asignan valores arbitrarios se les llaman variables independientes; a las otras cuyo valor se determina, se le llama variables dependientes.

1.3 Función

A la variable dependiente se le llama también función. Si dos variables están relacionadas de tal manera que a toda variación de una corresponde una variación para la otra, se dice que la segunda es función de la primera.

1.4 Notación

La dependencia de una función respecto al a variable dependiente se indica escribiendo:

y= f(x) y= F(x)

1.5 Funciones algebraicas y trascendentes

Función algebraica es aquella que puede expresarse por un determinado número de operaciones algebraicas. Ejemplo y=x-1 A=πr^2 y=3x + 6

Función trascendente de una variable es aquella que no puede relacionarse con la variable independiente por medio de las cuatro operaciones algebraicas efectuadas un número limitado de veces. Entre estas funciones se encuentran las trigonométricas directas e inversas; las logarítmicas

y las exponenciales. Ejemplo y= sen x y = e y=log2x

1.6 Funciones racionales e irracionales

Función racional es aquella que no requiere extracción de la raíz. La función irracional es aquella en que el exponente que afecta a la variable independiente es una fracción irreductible.

Las fracciones racionales pueden ser enteras o fraccionarias.

1.7 Funciones explicitas e implícitas

Si la variable que se considera como función está despejada, se dice que la función es explicita y si no está despejada, se dice que es implícita.

1.8 Funciones simples y compuestos

Función simple es aquella que está relacionada con la variable independiente por medio de una o más operaciones simples. Función compuesta es donde el valor de y depende de dos o más variables intermediarias que a su vez son funciones de x.

1.9 Función de función

Si la función depende de otra y ésta a su vez es una función de la variable independiente, se dice que la primera es función de función de la variable independiente.

CAPITULO II LÍMITES

2.1 Límite

Cuando una variable se acerca a una constante de tal modo que la diferencia entre los valores de la variable es constante puede hacerse tan pequeña como se quiera, entonces decimos que la variable se acerca a la constate como un límite. Para indicar que una variable V tiene como limite el valor A, se emplea la notación: lím V= a que se lee “el límite de V es A”

2.2 Infinitamente pequeño

Cuando una variable adquiere valores cada vez más y más cercano a cero, se dice que es un infinitamente pequeño, es toda una variable que tiende a cero.

2.3 Infinito

Cuando una variable aumenta de valor constantemente y llega a ser mayor que cualquier constante por grande que ésta sea, se dice que tiende al infinito.

2.4 Límites básicos

Cuando la variable independiente tienda a cero o infinito, es necesario considerar los siguientes límites: lím c/x=0 x ∞ lím c/x=∞ x 0

2.5 Propiedades fundamentales

Propiedad 1. El límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las funciones.

Propiedad 2. El límite de un producto de funciones es igual al producto de sus límites

Propiedad 3. El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites de las funciones, siempre que el divisor no tienda a cero.

2.6 Obtención del límite de una función

El límite de una función se puede obtener mediante la aplicación de las propiedades estudiadas sustituyendo la variable independiente por el valor al que tiende como un límite.

2.7 Indeterminaciones

En muchos casos resultan indeterminaciones como ∞/∞ o bien 0/0. Por lo que es necesario transformar la función en otra equivalente, antes de proceder a sustituir el valor asignado a la variable independiente.

Para evitar, se procede a transformar la función dada en otra equivalente, que no presente indeterminación. En este caso se logra dividiendo entre x el numerador y el denominador.

Para evitar, se transforma la función en otra equivalente descomponiendo en factores el denominador y simplificando.

Para evitarla se transforma la función en otra equivalencia. Haciendo operaciones de factorización y simplificado.

CAPITULO III DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

3.1 Incremento de una variable

Cuando una variable cambia de un valor numérico a otro, se dice que tiene un incremento. Lo cual se presenta con la letra griega delta∆, que se antepone a la variable.

El incremento es positivo cuando la variable aumenta de valor y negativo cuando registra una disminución.

3.2 Función continúa

Se dice que una función es continua cuando el incremento de la función tiende a cero, en medida que el incremento de la variable independiente tiende a cero.

También se puede afirmar que una función es continua, cuando la variable dependiente es continua, es decir, si ésta no puede pasar de un valor a otro sin pasar por todos los intermedios.

3.3 Pendiente

La pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo que una recta forma con la dirección positiva del eje de las x.

3.4 Derivada

Derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función y el incremento de la variable independiente, cuando este último tiende a cero.

También la derivada de una función se indica escribiendo:

dy/dx que indica la derivada de y con respecto a x.

Cuando ∆y y ∆x son números finitos y tienen valores definidos, la expresión ∆y/∆x es una fracción. Por lo tanto, el símbolo dy/dx es llamado también cociente diferencial.

3.5. Regla general para obtener la

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