Intervalos De Copnfianza

Licenciatura en Administración Clave: 494

Segundo Parcial

Intervalo de Confianza

Punto extra

Grupo: 51 L

Salón. S1M1

Profesor: Ocariz Rodríguez Adrián

Fecha de entrega: 01 de Abril 2014.

INTERVALO DE CONFIANZA

Se le llama a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional.

La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.1

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más probabilidad de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumenta su probabilidad de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ 2 . Es habitual que el parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshev.

En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.

Lo que define la amplitud de un intervalo de confianza son:

 El tamaño de la muestra

 La variabilidad de la población. (normalmente estimada por “S”

 El nivel de confianza deseado.

De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muéstrales coincide con la media poblacional:3

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,4 la distribución de medias muéstrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se sigue que:

En una distribución Z ~ N (0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)•100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).

Se desea obtener una expresión tal que

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestra ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará (debido a que es el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto —o, mejor dicho, su versión estandarizada o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución” . Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar para obtener el intervalo:

De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestra ± el producto del valor crítico por el error estándar .

Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):5

, donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor para los niveles de confianza estándar son 1,96 para y 2,576 para .6

Intervalo de confianza para una proporción [editar]

El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestra pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)•100% es:

En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y la aproximación de una binomial por una normal.7

Ejemplo práctico [editar]

Una máquina llena tazas con líquido, y se supone que está ajustada para invertir la cantidad de 250 g. Como la máquina no puede llenar cada taza con exactamente 250 g, el contenido que se añade a cada taza individual presenta cierta variación y se le asigna una variable aleatoria X. Se asume que esta variación se ajusta a una distribución normal de alrededor del porcentaje promedio deseado de 250 g, con una desviación estándar de 2.5 g. Para determinar si la máquina está adecuadamente calibrada, se toma una muestra aleatoria de n = 25 tazas de helado para pesarlas. La medición resultante de sustancia helada es X1,..., X25, una muestra aleatoria desde X.

Para tener una apreciación de la expectativa μ, es suficiente con dar una estimación. El estimador adecuado es la media muestra:

La muestra señala los pesos efectivos x1,..., x25, con media:

Al tomar otra muestra de 25 tazas, es esperable, de igual manera, que la masa presente valores como 250.4 o 251.1 gramos. Un valor medio muestra de 280 gramos en cambio, sería extremadamente excepcional si el contenido medio de las tazas está en la práctica cerca de 250 gramos. Hay un intervalo íntegro en torno al valor observado de 250.2 gramos de la media muestra por el que si la media de la población completa efectivamente toma un valor en este rango, los datos observados no podrían ser considerados particularmente inusuales. Tal intervalo se denomina intervalo de confianza para el parámetro μ. ¿Cómo se calcula tal intervalo? Los extremos del intervalo deben calcularse a partir de la muestra para que resulten funciones estadísticas de la muestra X1,..., X25 y de este modo son variables aleatorias a su vez.

En este caso, se determinará los extremos considerando la media muestra X a partir de la muestra en distribución normal está también normalmente distribuida con la misma expectativa μ, pero con un error estándar de:

Por estandarización, se obtiene una variable aleatoria:

De pendiente del parámetro μ a ser estimado,

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