Matematica

ESQUEMA

1- FACTORIZACION.

2- PRODUCTO NOTABLE.

3- FACTOR COMUN.

4- OPERACIONES CON FRACCIONES.

5- FUNCION LINEAL.

1 FACTORIZACIÓN.

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Factorización

Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos

Al factorizar el número 20, tendremos o .

Advierte que y no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización , de modo que mientras que la segunda factorización , de modo que , en cualquier caso la factorización completa para 20 es .

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20 como .

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.

FACTORIZACION DE UN BINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Ejemplo 1:

Factorizar a2-4ab+4b2

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:

Raíz cuadrada del tercer término:

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab

Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.

Ejemplo 2:

Factorizar 36x2-18xy4+4y8

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:

Raíz cuadrada del tercer término:

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x

Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.

DIFERENCIAS DE CUADRADOS.

Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Ejemplo 1:

Factorizar 1-a2

Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:

Raíz cuadrada del minuendo:

Raíz cuadrada del sustraendo:

Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).

Por lo tanto: 1-a2= (1+a) (1-a)

Ejemplo 2:

Factorizar 16x2-25y4

Raíz cuadrada del minuendo:

Raíz cuadrada del sustraendo:

Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).

Por lo tanto: 16x2-25y4 = (4x+5y2)( 4x-5y2)

FACTORIZACION DE TRINOMIOS.

Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1:

Factorizar x2+2x-15

En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.

En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.

Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:

Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).

Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.

Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).

FACTORIZACION POR AGRUPACION.

Para explicarla, veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1:

Factorizar ax-ay-bx+by

Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos semejantes.

En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un factor común para lograr la factorización completa.

Aplicando la ley asociativa: (ax-ay)-(bx-by)

En el primer binomio (ax-ay) vemos que el factor común es a, por lo tanto podemos expresarlo como: a(x-y).

En el segundo (bx-by) binomio el factor común es b, por lo tanto podemos expresarlo como: b(x-y).

De esta forma: ax-ay-bx+by podemos expresarlo también como a(x-y)-b(x-y), a su vez podemos factorizarlo, el factor común es (x-y), quedando de la siguiente forma: (a-b) (x-y).

Recordemos que cuando la factorización es completa, los factores son siempre los mismos, no importa en qué orden se haya factorizado.

Ejemplo 2:

Factorizar x2 - y2 + x3 - y3

Aplicando la ley asociativa tenemos: (x2 - y2) + (x3 - y3)

Si tomamos primero el primer binomio (x2 - y2), podemos ver que se trata de una diferencia de cuadrados, por tanto podemos expresarlo como (x-y) (x+y).

Tomando ahora el segundo binomio, tenemos que se trata de un binomio al cubo, por tanto podemos expresarlo como (x - y) [x2 +xy + y2].

De esta forma: x2 - y2 + x3 - y3=(x-y) (x + y) + (x-y) [x2 +xy + y2]

Podemos ver que (x-y) es el factor común del polinomio, por lo que finalmente podemos expresarlo de la siguiente forma:

(x -y)*[(x+y)+(x2+xy+y2)].

2 LOS PRODUCTOS NOTABLES.

Son

...