Matematica

Republica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Instituto Universitario de Tecnología de Maracaibo

Matemática

Integrantes:

 Chirinos Nairelit

 Moronta Lishen

Seccion: 9008

Maracaibo, 19 de Marzo de 2014

Factorización

Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más expresiones, llamadas factores de ella y, la determinación de estas cantidades es llamada factorización.

Cuando cada uno de los términos de una expresión es divisible por un factor común, la expresión puede ser simplificada dividiendo cada término separadamente por este factor y encerrando la cantidad que resulta entre paréntesis y el factor común afuera como coeficiente.

Ejemplo 1: Los términos de la expresión 3a² - 6ab tienen un factor común 3a, luego:

3a²-6ab=3ª(a-2b)

Ejemplo 2:

5a²bx³-15abx²- 20b³x² =5bx²(a²x-3a-4b²)

Una expresión puede ser factorizada si los términos pueden ser arreglados en grupos que tengan un factor común.

Ejemplo 1: factorizar x²-ax+bx-ab

Notemos que los dos primeros términos tienen factor común x y que los dos últimos tienen factor común b, entonces agrupamos los dos primeros términos entre paréntesis y los dos últimos también.

x²-ax+bx-ab=x(x-a)+b(x-a)

=(x-a)(x+b)

Ejemplo 2: factorizar 6x²-9ax+4bx-6ab

6x²-9ax+4bx-6ab= (6x²-9ax)+(4bx- 6ab)

= 3x(2x-3a)+2b(2x-3a)

= (2x-3a)(3x+2b)

Ejemplo 3: factorizar 12a²-4ab-3ax²+bx²

12a²-4ab-3ax²+bx² =(12a²-4ab)-(3ax²+bx²)

= 4a(3a-b)-x²(3a-b)

= (3a-b)(4a-x²)

Trinomio cuadrado perfecto

Es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.

Todo trinomio de la forma:

(a+b)2 = a2+2ab+b2

es un trinomio cuadrado perfecto ya que

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

 El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.

 Dos de los términos son cuadrados perfectos.

 El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.

 El primer y tercer término deben de tener el mismo signo

Un trinomio cuadrático general de la forma ax2+bx+c es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad b2-4ac es siempre igual a 0.

También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: a2-2ab+b2, donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican.

Para convertir un binomio en un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP), es necesario aplicar la siguiente fórmula, la primera cantidad elevada al cuadrado más 2 veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al cuadrado.

A2+2AB+B2=(A+B)2

Ejemplo 1:

(2a+3b)2

Aplicamos la fórmula:

(2a+3b)2=(2a)2+2(2a)(3b)+(3b)2 =4a2+12ab+9b2

Para revertir el TCP a la suma de binomios al cuadrado original, es necesario hallar la raíz cuadrada de los dos primeros términos:

4a2+12ab+9b2=(√4a2+√9b2)2=(2a+3b)2

Así queda demostrada la fórmula.

Ejemplo 2:

12xy+9x2+4y2

Ordenando según las normas del álgebra, de más a menos x, resulta que:

9x2+12xy+4y2

Y podemos darnos cuenta de:

9x2= (32)(x2)=(3x)2

4y2= (2y)2

12xy=2(3x)(2y)

Podemos averiguar que es un TCP ya que cumple con las normas:

12xy+9x2+4y2=(√9a2+√4b2)2=(3x+2y)2

Ejemplo 3:

Ordenando respecto a la variable de mayor potencia ( ) tenemos:

Evaluando el trinomio vemos que:

Y

Por último vemos que

Entonces la expresión es un trinomio cuadrado perfecto.

Diferencia de cuadrado

Diferencia se le dice a la resta, entonces diferencia de cuadrados hace referencia a una resta de cuadrados más precisamente una resta de dos cuadrados, es decir, dos cuadrados que están restándose.

Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son cuadrados.

Ejemplo 1:

x2-9=(x+3).(x-3)

x 3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

Ejemplo 2:

x2-y2 =(x+y).(x-y)

x y

Las dos bases son letras.

Ejemplo 3:

b2-1=(b+1).(b-1)

b 1

No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.

Suma de polinomios

Sumar polinomios implica combinar términos.

Los términos semejantes son monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y no semejantes:

Monomios Términos Explicación

3x

14x semejante las mismas variables con los mismos exponentes

16xyz2

-5xyz2 semejante las mismas variables con los mismos exponentes

3x

5y

no semejante diferentes variables con los mismos exponentes

-3z

-3z2 no semejante las mismas variables con diferentes exponentes

Combinamos términos comunes al sumar o restar el coeficiente del término pero manteniendo las variables y sus exponentes. La Propiedad Distributiva es la razón por la que podemos hacer esto.

Ejemplo 1

Problema

Simplificar

Reescribir la expresión usando la Propiedad Distributiva

Sumar los términos en los paréntesis

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