PROBABILIDAD Y ESTADISTICAS

CAPITULO 3 Probabilidad

3.1 INTRODUCCION.

La probabilidad es una herramienta por medio de la cual se pueden estudiar sucesos aleatorios, cuando éstos son comparados con fenómenos determinísticos. Un fenómeno determinístico podría ser: el cálculo del tiempo que transcurra desde que un objeto es lanzado de una altura conocida, hasta que llegue al suelo, mientras que un suceso aleatorio podría ser el lanzamiento de un dado.

La probabilidad es muy importante en la toma de decisiones, por ejemplo: en el proceso de llenado automático de una bolsa de papas fritas. Si la máquina en este proceso llena de más la bolsa, sería una pérdida para la compañía, y si el llenado es menor a lo esperado, entonces se pregunta, ¿cuál sería la decisión adecuada?.

Antes de contestar esta pregunta recordaremos los conceptos de Conjunto, Subconjunto y Operaciones entre conjuntos.

3.5. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES. ANÁLISIS COMBINATORIO.

Para poder determinar la probabilidad de un evento o varios eventos, primero es necesario contar con el número de resultados posibles de un experimento, este proceso de conteo puede simplificarse mediante el empleo de técnicas de conteo llamadas permutaciones y combinaciones, en el Capítulo I se estudiaron las definiciones de experimento y evento, en ésta sección las recordaremos por medio de ejemplos:

Experimento, puede ser:

- El lanzamiento de un dado

- En un proceso de producción, la cantidad de artículos defectuosos producidos en un lapso de tiempo.

- El lanzamiento de una moneda.

Espacio Muestral.

Se define como el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento, por ejemplo: para el primer caso de los experimentos anteriores, el espacio muestral sería:

S={1,2,3,4,5,6}que son los resultados posibles del lanzamiento de un dado.

Evento, ejemplos:

Evento A. Al lanzar el dado el resultado obtenido sea un número par.

A= {2,4,6}

Evento B. Al lanzar el dado el resultado obtenido sea un número impar.

B= {1,3,5}

3.5.1.Permutaciones.

Una permutación es un arreglo en un órden particular de los objetos que forman un conjunto, es decir:

Permutaciones de n objetos = (3.1)

El símbolo n! se lee: “n factorial”, n siempre será un número positivo y por definición 0! = 1

En tu calculadora podrás encontrar el factorial generalmente con las teclas SHIFT X !

EJEMPLO 4. Considérese las diferentes formas en que se pueden arreglar las siguientes tres letras: a, b, c.

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Ahora bien, si solo se desea conocer el número de permutaciones de n objetos tomando r objetos a la vez, entonces:

(3.2)

*Otras formas de representar una permutación serían :

EJEMPLO 5 Considerese el conjunto de letras: a, b, c, d las cuales serán tomadas 2 a la vez. Determine el número de arreglos posibles.

ab, bc, cd, da, ac, bd, ca, db, ad, ba, cb, dc

Algunas calculadoras, sobre todo las CASIO tienen una tecla de permutaciones que puedes encontrar como nPr y que activaras poniendo el valor de n + SHIFT nPr + el valor de r y luego IGUAL (o EXE).

3.5.2 Combinaciones.

Una combinación de los objetos de un conjunto es una selección de estos sin importar el orden, es decir:

(3.4)

* Otras formas de representar una combinación serían :

EJEMPLO 7 Del ejemplo 4 obtenga el número de combinaciones posibles:

La cual será unicamente: a, b, c.

La diferencia entre una permutación y una combinación es, que en la primera el interés se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de éstas, mientras en la segunda se trata de contar el número de selecciones diferentes.

EJEMPLO 8 Del ejemplo 5 obtenga el número de combinaciones posibles y compare ambos resultados.

Los cuales son: ab, cd, ac, ad, cb, bd.

Nótese que son exactamente la mitad de arreglos con respecto al número de permutaciones, ya que en éstas últimas el interés radica en la cantidad de arreglos, los cuales como se observa son los arriba indicados mas sus arreglos invertidos: ab, ba; cd, dc; ac, ca; ad, da; cb, ba; bd, db.

3.6. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO. (Principio de multiplicación)

Si un evento puede realizarse de maneras diferentes y si continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de maneras diferentes, y si después de efectuados, un tercer evento puede realizarse en maneras diferentes y así sucesivamente, entonces:

No. de maneras en que los eventos pueden realizarse (3.5)

EJEMPLO 9 Si una mujer tiene 2 blusas y 4 faldas entonces tiene 2 x 4 = 8 maneras de escoger una blusa y luego una falda.

Un diagrama llamado diagrama de árbol debido a su apariencia, se emplea frecuentemente en conexión con el principio anterior.

EJEMPLO 10 Si las blusas se representan por y las faldas por las diferentes maneras de escoger una blusa y luego una falda se indican en el diagrama de árbol de la figura 4-3.

Fig. 4-3

3.8. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

En el capítulo I se explicó que existen 3 enfoques de probabilidad. A continuación repasamos estos conceptos.

3.8.1. Definición clásica.

Si un experimento que está sujeto al azar, resulta de formas igualmente probables y mutuamente excluyentes, y si ya de estos resultados tienen un atributo A, la probabilidad de A es la proporción de con respecto a . Es decir:

(3.7)

EJEMPLO 12 En el lanzamiento de un dado, ¿ Cuál será la probabilidad de obtener un número par ?

Espacio muestral=

Resultados del evento “A”=

3.8.3. Interpretación subjetiva de la probabilidad.

En algunos casos la probabilidad se interpreta como el grado de creencia de que algo pueda ocurrir, es decir, la probabilidad representa un juicio personal acerca de un fenómeno impredecible.

EJEMPLO 14 En un proceso de producción dos inspectores del Depto. de Control de Calidad dan su opinión sobre la calidad de la fabricación de la producción del día. El inspector A dice que el día será registrado con un 80% de productividad mientras que B asegura que será de un 95%.

EJEMPLO 15 Determine la probabilidad de (P) de obtener

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