Probabilidad Y Estadística

UNIDAD 3

Distribución normal

Se llama a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

• caracteres morfológicos de individuos como la estatura;

• caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;

• caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;

• caracteres psicológicos como el cociente intelectual;

• nivel de ruido en telecomunicaciones;

• errores cometidos al medir ciertas magnitudes;

• etc.

*ejemplo:

Se lanza una moneda equilibrada 100 veces. Encuentra la probabilidad de que ocurra cara 48 y 53 veces inclusive:

Cara

P(48≤X≤53) σ=√n•p•q Z1=X1-U/σ Z2=X2-U/σ

n=100 =√100•0.5•0.5 =48-50/5 =53-50/5

p=0.5 =√25 = -0.4 =0.6

q=0.5 =5

u=n•p

=100•0.5

=50

Distribución Weibull

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Es una generalización de la distribución exponencial (α) su función de probabilidad es:

f(α)= αλα αα-1 e-(λα)

Esta distribución se utiliza mucho en fiabilidad y análisis de supervivencia para modelizar el tiempo de vida de un componente o de un ser vivo.

Distribución t-student

se define como el cociente entre una normal tipificada Z ~N80,1) y la √X2n/n dividida por sus grados libertad

Tn= Z/√X2n/n -∞ ≤ tn ≤ ∞

*ejemplo:

si n es igual a 15, calcula la probabilidad de siguiente: T mayor a .258

n=15 formula= n-1

p(t≥0.258) 15-1=14

R=0.40

Distribución F

se define como el cociente entre dos ji cuadrada(X2) independientes, divididos por sus grados libertas

Fn1,n2= X2n1/n2 Fn1,n2 ≥ 0

Xn2/n2

*ejemplo:

en una empresa hay dos máquinas cortadoras diferentes en antigüedad lo que hace pensar que las varianzas de corte son iguales. Se toma una muestra de 16 partes de cada máquina ¿Cuál será la probabilidad de que la razón de varianza sea:

a)mayor a 1.97

b)menor a 3.52

Solución a:

P(F≤1.97)=1-0.99=0.1 para v1=15 y v2=15

la probabilidad de que la razón de varianzas sea mayor a 1.97 es de 0.1

Solución b:

P(F≤3.52)=0.99 para v1=15 y v2=15

la probabilidad de que la razón de varianzas sea menor a 3.52 es 0.99

Distribución X2

es donde k=n/2 y v=1/2 recibe el nombre de X2 de Pearson n grados de libertad abreviadamente X2(n). También puede obtenerse como la distribución de una variable aleatoria y definida mediante

Y= X21+…+X2n

Donde X1….Xn son variables aleatorias IID con distribución común N(0,1)

*ejemplo:

en una ciudad hay cuatro lugares turísticos especiales A, B, C, D. Una encuesta aplicada a 600 turistas indicó el número de lugares visitados por cada uno:

No. de lugares 0 1 2 3 4

No. De turistas 130 240 170 52 8

Sea Ho la hipótesis nula que afirma que la distribución es binomial com p=0.30. compruebe la hipótesis a un nivel de significación α=0.10

P=0.30 P(x)= (nx) px qn-x q=1-p

α=0.10 P(x)=0.30 q=1-0.30

GL=4 q=0.70

UNIDAD 4

Tipos de muestreo:

Muestreo aleatorio simple:

Supongamos que una población descritas a través de una función de densidad paramétrica f(x:0). Decimos que una muestra X1 …Xn elegida de esa población es aleatoria siempre y cuando:

-cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido

- la extracción se realiza con el reemplazamiento, de modo que la población es idéntica en todas las extracciones

F(X1….Xn:0) = f8X2:0)…f(Xn:0)

Muestreo sistematico:

Sobre una población N elementos ordenados según una determinada característica se van seleccionando elementos de k en k (a partir de un valor inicial) hasta agotar N

Muestreo estratificado:

Se desea realizar una encuesta donde los elementos (personas) son heterogéneos en razón de sexo, profesión, edad. Es aquel que los elementos de la población se dividen en clases o estratos. La muestra se toma asignando un número de miembro a cada estrato y escogiendo los elementos mediante muestreo aleatorio.

Muestreo por conglomerados:

Existen situaciones donde la población se encuentra agrupada de modo natural en conglomerados, cuyo número se conoce. La población se divide en provincias, los habitantes de una ciudad en barrios, etc. Si podemos suponer que cada uno de los conglomerados es una muestra representativa de la población total respecto de la variable de intereses, podemos seleccionar algunos de estos conglomerados al azar, y dentro de ellos analizar todos sus elementos o una

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