Prueba De Hipotesis Estadisticas

INFERENCIA ESTADISTICA

PRUEBA DE HIPOTESIS ESTADISTICAS

PH I

Definiciones

a. Una hipótesis estadística es una suposición que se hace sobre la F. de D. de una variable aleatoria asociada a un experimento aleatorio.

b. Una prueba de hipótesis es un procedimiento que determina si la hipótesis en cuestión debe o no ser rechazada. Se anticipa que el no rechazo de una hipótesis no implica necesariamente su aceptación. Más sobre esto más adelante.

PH II

Conceptos Principales

PH II.1

Sea un experimento aleatorio con permanencia estadística. Sea X la variable aleatoria asociada al mismo. Para introducir las nociones básicas de la prueba de hipótesis, se considerará el caso de que la hipótesis a probar, también llamada hipótesis nula, tenga una única posible hipótesis alternativa. Sea la hipótesis nula:

H 0 : X tiene una f. de d. () X 0 xf

y la hipótesis alternativa:

H 1 : X tiene una f. de d. () X 1 xf .

Dadas estas hipótesis, imagínese para H0 el siguiente mecanismo de rechazo / no rechazo:

1º. Se particiona a x (al conjunto de los números reales) en dos conjuntos. A uno de ellos se lo llamará “región de no rechazo” (NR) y al otro “región crítica” (RC). Esta partición por el momento se considera arbitraria (ver ejemplo en figura PH II.a). 2º. Se efectúa una única vez el experimento. Llámese x al resultado. Si x ∈ RC se rechazará a H0, y si x ∈ NR no se la rechazará.

x

Figura PH II.a

RC

NR

PH 2

Notar que al definir este mecanismo de rechazo / no rechazo no se entró en consideraciones acerca de si es bueno o malo. Otro mecanismo, evidentemente malo, sería tirar una moneda y rechazar a H0 si sale cara. Al proceder de la manera indicada, pueden cometerse dos tipo de errores.

Error tipo I: rechazar a H0 siendo cierta Error tipo II: No rechazar a H0 cuando es falsa

Recordando que el no rechazo de H0 se produce cuando x ∈ NR, y que el rechazo de dicha hipótesis se produce cuando x ∈ RC, se tiene que:

P(I) = P(Cometer error tipo I) = P(Rechazar H0 siendo cierta) = = P(x ∈ RC siendo H0 cierta) =

= P(x ∈ RC cuando X tiene una f. de d. () X 0 xf ). A esta P(I) se lo llamará también “nivel de significación” de la prueba. Igualmente:

P(II) = P(Cometer error tipo II) = P(No rechazar a H0 cuando es falsa) = = P(x ∈ NR siendo H0 falsa) = P(x ∈ NR siendo H1 cierta) =

= P(x ∈ NR cuando X tiene una f. de d. () X 1 xf ). Evidentemente, a distintas elecciones de zonas críticas RC corresponden distintos valores para P(I) y P(II). Según es obvio, el mecanismo de rechazo / no rechazo más arriba indicado será tanto mejor cuanto menores sean los valores de P(I) y P(II), y por lo tanto el diseño de un proceso de prueba de hipótesis se reduce a elegir una región crítica (a particionar el eje x) de manera tal que P(I) y P(II) sean “lo menor posible”. Desgraciadamente, es imposible disminuir simultáneamente a P(I) y P(II). Dada esta circunstancia, lo que generalmente se hace es tomar un valor convencional (generalmente 0,05) para el nivel de significación de la prueba P(I). Una vez fijado este valor, entre todas las regiones que den P(I) = 0,05 se elige a aquella que dé un P(II) mínimo.

PH II.2

Ejemplo

a. Supóngase que: H0 = La variable X tiene una f. de d. () X 0 xf H1 = La variable X tiene una f. de d. () X 1 xf siendo ()X 0 xf y () X 1 xf las indicadas en la figura PH II.b.

[1]

[2]

[3]

x Figura PH II.b

α NR 1 RC1

()X 0 xf () X 1 xf

PH 3

Considérese la región crítica:

RC 1 : x > α

En este caso (ver [2] y [3]):

1RCP (I) = P(x ∈ RC1 cuando X tiene una f. de d. () X 0 xf ) =

= ∫ ∞ α dxxf ()X 0 = Área de figura PH II.b

1RCP (II) = P(x ∈ NR1 cuando X tiene una f. de d. () X 1 xf ) = = P(X ≤ α cuando X tiene una f. de d. () X 1 xf ) =

= ∫ −∞ α dxxf ()X1 = Área de figura PH II.b

b. Evidentemente, al variar α varía RC1 y varían

1RCP (I) y 1 RCP (II). Si α aumenta,

disminuye

1RCP (I) pero aumenta 1 RCP (II), y viceversa. Si, tal como indicado en PH II.1, se toma 1RCP (I) = 0,05, el valor de α queda fijado, lo que a su vez fija el valor de 1RCP (II).

c. Considérese ahora la región crítica (ver figura PH II.c):

RC2 : a < x ≤ b

En este caso: 2 RCP (I) = P(x ∈ RC2 cuando X tiene una f. de d. )( X 0 xf ) = = P( a < X ≤ b cuando X tiene una f. de d. () X 0 xf ) = = ∫ b a dxxf ()X 0 = Área de figura PH II.c

x Figura PH II.c

a b RC2

()X 0 xf () X 1 xf

NR2

PH 4

2 RCP (II) = P(x ∈ NR2 cuando X tiene una f. de d. () X 1 xf ) = = P(X ≤ a ∪ X > b cuando X tiene una f. de d. () X 1 xf ) = = ∫∫ ∞ + −∞ b dxxf a dxxf () X 1()X1 = Área de figura PH II.c

d. Supóngase ahora que α (figura PH II.b) y a y b (figura PH II.c) hayan sido elegidos de manera tal que:

()() 12 IPIP RCRC = = 0,05

Se ve a simple vista que se tendrá que:

() () 12 IIPIIP RCRC <

y por lo tanto RC1 es una región crítica mejor que RC2. Más aún, observando atentamente las funciones () X 0 xf y () X 1 xf , se llega a la conclusión de que entre todas las regiones críticas

...