Solucion A La Ecuacion De Difusion De Calor

Transferencia de calor

El termino conducción se usa para hacer referencia a la trasferencia de calor que se produce a través medio. Por el contrario el término convección hace referencia a la transferencia de calor que se da entre una superficie y un fluido en movimiento cuando están a diferentes temperaturas. Mientras la radiación térmica es emitida por todas las superficies en forma de onda electromagnética, por lo que en ausencia de un medio, existe una transferencia neta de calor por radiación entre dos superficies a diferentes temperaturas [1].

Conducción

Es considerada como la transferencia de energía de las partículas más energéticas a las menos energéticas de una sustancia debido a las interacciones entre las mismas. Las temperaturas más altas se asocian con las energías moleculares más altas, y cuando las moléculas de un gas chocan unas con otras hay una transferencia de energía de las moléculas más energéticas a las menos energéticas. De igual forma ocurre con los líquidos, aunque las moléculas están menos espaciadas y las interacciones moleculares son mucho más fuertes y frecuentes. En un sólido dichas interacciones se dan en forma de vibraciones reticulares. Para la conducción de calor, la ecuación o modelo se conoce ley de Fourier y se da por la ecuación (1) [1], [2], [3].

q´´=-k ∂u/∂x (1)

El flujo de calor o trasferencia de calor por unidad de área q'', es la velocidad con que se transfiere en calor en la dirección x por área unitaria perpendicular a la dirección de tranferencia, y es proporcional al gradiente de temperatura, dT/dx, en esta dirección. La constante de proporcionalidad k, es una propiedad de transporte conocida como conductividad térmica.

Convección

Este modo de transferencia se compone de dos mecanismos. El primero la trasferencia de energía debida al movimiento molecular aleatorio conocido como difusión y la trasferencia mediante movimiento global, o macroscópico del fluido. Como las moléculas mantienen el movimiento aleatorio, la transferencia total de calor se da mediante la superposición de los modos mencionados anteriormente, entonces se usa convección para la combinación de los modos, y advección cuando se habla de transferencia debido al movimiento volumétrico del fluido.

La convección se clasifica de acuerdo a la naturaleza del flujo.

Convección forzada: cuando el flujo es causado por medio externos como ventiladores, una bomba o vientos atmosféricos [1], [3].

Convección libre: cuando el flujo es inducido por fuerzas de empuje que surgen a partir de las diferencias de densidad ocasionadas por variaciones de temperatura en el fluido [1], [3].

La energía transmitida por convección se denomina energía sensible o interna del fluido. Sin embargo hay procesos por convección en los cuales se tiene también transferencia de calor latente, el cual se asocia al cambio de fase de una sustancia [1].

La tranferencia de calor por convección depende de la densidad, viscosidad, y velocidad del fluido

La ecuación del modelo apropiado es la presentada en (2) [1], [2].

q^''=h(T_s-T_∞ ) (2)

Donde q'' es el flujo de calor es proporcional a la diferencia entre las temperaturas de la superficie y el fluido, se conoce como ley de enfriamiento de Newton. Y la constante de proporcionalidad h se denomina coeficiente de transferencia de calor por convección. Cualquier estudio de convección se reduce finalmente a un estudio de los medios por los que es posible determinar h [1].

Radiación

La radiación térmica es la energía emitida por la materia a una temperatura dada. Puede provenir de sólidos, líquidos y gases. Aunque por lo general sus aplicaciones se centran en los sólidos. La radiación se atribuye a los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas consecutivas. La energía del campo de radiación es transportada por ondas electromagnéticas. Un radiador perfecto es lo que se conoce como un cuerpo negro, el cual emite energía radiante de su superficie a una velocidad dada por (3) [1], [3].

q_r=σA_1 T_1^4 (3)

q_r es la potencia emisiva superficial. La constante σ es la constante de Stefan-Boltzmann, la cual debe su nombre a dos científicos austriacos, J. Stefan, quien en 1879 descubrió la ecuación. (3) experimentalmente, y L. Boltzmann, que derivó su teoría en 1884. Analizando la ecuación (3) muestra que cualquier superficie de cuerpo negro irradia calor a una velocidad proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. Mientras que la tasa de emisión de calor radiante es independiente de la condiciones del entorno, una transferencia neta de calor radiante requiere una diferencia en la temperatura de la superficie de cualquiera de los dos cuerpos entre los cuales el intercambio está teniendo lugar. Si un cuerpo radiante irradia calor en un recinto que también es un cuerpo negro, la tase neta de transferencia de calor radiante bien dada por (4) [1], [3]

q_r=A_1 σ(T_1^4-T_2^4 )

El flujo de calor emitido por una superficie real es menor que el de un cuerpo negro a la misma temperatura y esta dado por (5)

E=εσT_s^4

Donde ε es una propiedad radiativa de la superficie denominada emisividad. Es una medida de la eficiencia con la que un cuerpo emite energía térmica. La velocidad de radiación incidente se denomina Irradiancia G. Parte de la Irradiancia

Modelado de la ecuación de calor

Características físicas que deben ser asumidas

El calor específico σ y la densidad ρ del material del cuerpo son constantes. No hay ni producción de calor, ni dispersión.

Los experimentos muestran que en un cuerpo el calor fluye en la dirección de decrecimiento de la temperatura y la tasa de flujo es proporcional al gradiente de temperatura, que es la velocidad v del flujo de calor en el cuerpo y es de la forma:

v=-Kgrad(u) (4)

Donde u(x,y,z,t) es la temperatura en un punto (x,y,z) en el instante t.

La conductividad térmica K es constante, como es el caso para un material homogéneo y temperaturas no extremas [4].

Bajo estas condiciones se puede derivar el modelo de flujo de calor en un cuerpo como:

Sea D una región del cuerpo, limitada por una superficie suave, con un vector normal en la dirección saliente. Entonces v.n es la componente de v en la dirección de n. Por lo tanto |v.n∆S| es la cantidad de calor que sale de D (sí v.n>0 en algún punto P, entonces v.n∆S>0) o que entra a D (sí v.n<0 en algún punto P, entonces v.n∆S<0) por unidad de tiempo en algún punto P de S a través de una pequeña porción ∆Σ de S. por lo tanto la cantidad total de flujo de calor que atraviesa D por unidad

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