TRANSFORMADAS

Contenido

Introducción 1

5. TRANSFORMACIONES LINEALES 2

5.1 Introducción a las transformaciones lineales 2

La transformación cero 3

La transformación identidad 3

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal 4

Teorema 4

Núcleo e imagen de la transformación cero 4

Núcleo e imagen de la transformación identidad 5

5.3 La matriz de una trasformación lineal 5

Teorema 6

5.4 Aplicaciones de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación. 6

Dilatación o escalamiento 2D 6

Dilatación o escalamiento 3D 7

Transformación de reflexión 8

Transformación de rotación 9

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las trasformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes.

Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

A continuación se explican las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, su imagen y el núcleo, y su representación matricial.  

5. TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1 Introducción a las transformaciones lineales

Definición:

Sean y espacios vectoriales reales. Una transformación lineal de en es una función que asigna a cada vector un vector único y que satisface, para cada y en y cada escalar ,

Y

Notación:

1. Se escribe para indicar que toma el espacio vectorial real y lo lleva al espacio vectorial real ; esto es, es una función con como su dominio y un subconjunto de como su imagen.

2. Se escriben indistintamente y . Denotan lo mismo; los dos se leen

“ ”.

3. Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales.

Ejemplo

Sea definida por . Por ejemplo, .

Entonces

Pero

Así,

De manera similar,

Así, es una transformación lineal.

La transformación cero

Sean y espacios vectoriales y defina por para todo en . Entonces y . En este caso, se denomina la transformación cero.

La transformación identidad

Sea un espacio vectorial y defina por para todo en . Aquí es obvio que es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

Definición:

Sean y dos espacios vectoriales y sea una transformación lineal.

Entonces

I) El núcleo o kernel de , denotado por , está dado por

II) La imagen o recorrido de , denotado por , está dado por

Teorema

Si es una transformación lineal, entonces

I) es una subespacio de .

II) es un subespacio de .

Demostración

I) Sean u y v en ; entonces y de forma que

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