Trabajo De Calculo Diferencial

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTI)

Ingeniería de sistemas

100411 – Calculo Integral

Grupo: 100411_ 205

Tutor:

JAVIER FERNANDO MELO CUBIDES

Por:

ELVER ENRÍQUEZ QUINTERO

CÓDIGO: 94.442.137

LUIS ERNESTO SERRANO GÓMEZ

CÓDIGO: 91518915

Septiembre de 2014

INTRODUCCIÓN

Este trabajo tiene como fin enfocarnos en los primeros principios de integración, además de enseñarnos a utilizar el procedimiento como el del teorema fundamental de cálculo.

Aunque primordialmente el trabajo es sobre la realización de situaciones problemas solucionando integrales indefinidas y definidas, aplicando las distintas propiedades que poseen, además los diferentes ejercicios que se presentan a continuación están desarrollados detalladamente para su mayor análisis y comprensión.

OBJETIVOS

Con el desarrollo del presente trabajo se pretende alcanzar los siguientes objetivos:

identificar los principios del Cálculo integral para asimilar la teoría de las integrales.

Manejar de manera apropiada las integrales indefinidas y definidas y los teoremas en los cuales se basaban.

Adquirir nuevas habilidades, destrezas y conocimientos que fortalecen el proceso de aprendizaje.

PROBLEMAS PROPUESTOS FASE 1

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

Ejercicio 1. ∫▒〖(x^3+x-2)/x^2 dx〗

Solución:

=∫▒〖x^3/x^2 dx〗+∫▒〖x/x^2 dx+ ∫▒〖2/x^2 dx〗 〗

=∫▒〖x^(3-2) dx〗+∫▒〖x^(1-2) dx-2∫▒〖x^(-2) dx〗 〗

=∫▒〖x dx〗+ ∫▒〖x^(-1) dx-2∫▒〖x^(-2) dx〗 〗

= x^(1+1)/(1+1)+ ln⁡〖x-2 (x^(-2+1)/(-2+1))〗+C

= [x^2/2+ln⁡〖x-2 (x^(-1)/(-1))〗 ]+C

=x^2/2+ln⁡〖x+2 (x^(-1)/1)〗+C

=x^2/2+ln⁡〖x+2/x〗+C

Ejercicio 2. ∫▒〖(〖Sec〗^2 (x))/∛(Tan(x) ) dx〗

Solución:

Para resolver la integral anterior, nos apoyamos en el método de sustitución.

Entonces:

u=tan⁡x

du=〖sec〗^2 x.dx

dx= du/(〖sec〗^2 x)

=∫▒(〖sec〗^2 x.(├ tan⁡x )^(-1/3) ┤) dx

=∫▒(〖sec〗^2 x. u^(-1/3) ) dx/(〖sec〗^2 x)

=∫▒u^(-1/3) dx

=u^(-1/3+3/3)/(-1/3+3/3)+c

=u^(2/3)/(2/3)+c

(=6 u^(2/3))/2+c

=(6 〖tan⁡x〗^(2/3)+c)/2

=(6(tan┤ 〖 ⁡├ x)〗^(2/3))/2+c

=(6∛(tanx^2 )+c)/2

Ejercicio 3. ∫▒(├ 1+3x)^2 ┤/∛x dx

Tener la anterior integral, es lo mismo decir que:

=((〖1+6x+9x〗^2 ))/∛x dx

=∫▒(1/∛x┤ +6x/∛x+├ 9^2/∛x)dx

=∫▒1/∛x dx+∫▒〖6x/∛x dx〗+∫▒9^2/∛x dx

=1∫▒dx/∛x+6∫▒〖x/∛x dx〗+9∫▒x^2/∛x dx

=1∫▒dx/x^(1/3) +6∫▒〖x/x^(1/3) dx〗+9∫▒x^2/x^(1/3) dx

=1∫▒〖x^(-1/3 ) dx〗+6∫▒〖〖x.x〗^(-1/3 ) dx〗+9∫▒〖x^2 x^(-1/3 ) 〗 dx

=1∫▒〖x^(-1/3 ) dx〗+6∫▒〖x^(-2/3 ) dx〗+9∫▒x^(5/3 ) dx

=x^(-1/3+3/3)/(-1/3+3/3)+6 ((x^(2/3+3/3) ))/(2/3+3/3)+9 ((x^(5/3+3/3) ))/(5/3+3/3)+c

=(x^(2/3)/(2/3)+6 x^(5/3)/(5/3)+9 x^(8/3)/(8/3))+c

=(x^(2/3)/2+〖18〗^(5/3)/5+〖27〗^(8/3)/8)+c

=((3∛(x^2 ))/2+(18∛(x^5 ))/5+(27∛(x^8 ))/8)+c

=((3∛(x^2 ))/2+(18∛(x^3.x^2 ))/5+(27∛(x^6.x^2 ))/8)+c

=(3∛(x^2 ))/2+(18x∛(.x^2 ))/5+(〖27x〗^2 ∛(x^2 ))/8+c

Ejercicio 4. ∫▒〖〖tan〗^3 (x)dx〗

=∫▒〖〖tan〗^3 (x)dx〗=∫▒〖〖tan〗^2 x.〗 tan⁡x dx

=R^2/X^2 =X^2/X^2 +Y^2/X^2

=〖sec〗^2 x=1+ 〖tan〗^2 x

=〖sec〗^2 x-1=〖tan〗^2 x

u=tan⁡x

du=〖sec〗^2 x .dx

dx=du/(〖sec〗^2 x)

Luego se obtiene que:

=∫▒〖(〖sec〗^2 x-1).(tan⁡x )dx〗

=∫▒〖((〖sec〗^2 x tan⁡x ┤)-├ tan⁡x )dx〗

=∫▒〖(〖sec〗^2 x tan⁡x )dx-∫▒tan⁡x dx〗

=∫▒〖(〖sec〗^2 x u).du/(〖sec〗^2 x)-∫▒tan⁡x dx〗

=∫▒〖u .du-∫▒tan⁡x dx〗

=u^(1+1)/(1+1)- (- ln(sec⁡x ))+c

=u^2/2+ ln(sec⁡x )+c

Reemplazando se obtiene que:

=(〖tan〗^2

...