Apliacion de los Numeros Complejos

Contenido

Introducción        2

Justificación        2

Objetivos        2

Marco Teórico y Referencial        3

Desarrollo de la investigación        4

Ingeniería Electrónica        4

Aerodinámica        4

Señales        6

Magnitudes Eléctricas        7

Movimiento Ondulatorio        8

Calor en un anillo de hierro        9

Relatividad Especial y Relatividad General        10

Metodología de la investigación        11

Resultados        11

Discusión de los resultados        11

Conclusión        11

Recomendación        11

Bibliografía        12

Introducción

Primero hay que definir lo que es son los números complejos.

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación [pic 1], siendo [pic 2]el conjunto de los números reales se cumple que [pic 3]([pic 4] está estrictamente contenido en [pic 5]). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Justificación

Se ha realizado esta investigación porque es bueno saber de qué los números complejos se presentan en nuestra vida y muchas veces no nos damos cuenta.

Objetivos

Los objetivos de esta investigación apuntan al aprendizaje de los números complejos aplicándolos en la vida cotidiana. Para este objetivo se demostrará con distintos ejemplos la aplicación de estas. De esta forma se probará que tienen un amplio uso, llegando a ser imprescindibles, en distintos campos, haciendo errónea la idea de que solo se aplican en el área de matemática.

Marco Teórico y Referencial

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b).

A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota [pic 6]; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota [pic 7]. Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:

• Suma

[pic 8]

• Producto por escalar

[pic 9]

• Multiplicación

[pic 10]

• Igualdad

[pic 11]

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

• Resta

[pic 12]

• División

[pic 13]

Al número [pic 14]se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo [pic 15]se denomina número imaginario puro. Puesto que [pic 16]se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.

Desarrollo de la investigación

Ingeniería Electrónica

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. [pic 17]

Aerodinámica

Las conclusiones de Joukowski sobre formas aerodinámicas son cruciales para el diseño de elementos como por ejemplo las alas de las aeronaves. Conseguir esto requiere un uso más avanzado del análisis complejo. La idea es calcular la imagen de un conjunto de puntos del plano complejo por la transformación f (z)= 1 z +z.

 Ejemplo: En la siguiente imagen consideramos la forma de Joukowski resultado de transformar el círculo centrado en el punto   z o =a+bi y que pasa por el punto z=-1 al aplicarle la transformación f(z)=z+1/z.

[pic 18]

Señales

En contextos que van del procesamiento de señales y comunicaciones, a motores electromecánicos, vehículos automotores y plantas de procesos químicos, un sistema puede considerarse como un proceso en el cual las señales de entrada son transformadas por el sistema o provocan que éste responda de alguna forma, lo que da como resultado otras señales de salida.

Una de las formas más corriente en que se encuentran las señales eléctricas es la forma senoidal comúnmente utilizada en la generación y transmisión de energía eléctrica.

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