Aplicacion de los numeros complejos

Centro de Enseñanza Técnica Industrial

Organismo Público Descentralizado Federal

APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS A LA ELECTRICIDAD

1er Parcial

Ingeniería Industrial

5.A

Matematicas Avanzadas Para Ingenieria

Lopez Salgado Ana Maria

Fecha:14/03/2016

DIAGRAMA: Modelo, operación e interpretación de los elementos y resultados fisicos y matematicos.

INTRODUCCION:

Los números imaginarios

Existe una infinidad de formas de introducir los números imaginarios, los cuales están estrechamente ligados con los números complejos, pero aquí se mencionará la que no causa tanta confusión matemática: un número imaginario representa una idea matemática precisa, que se introdujo por la fuerza en el álgebra de la misma manera que con los números negativos. De esta forma su entendimiento y uso serán más claros si consideramos el desarrollo de sus progenitores: los números negativos.

Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto nacieron éstas; o mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda ecuación de la forma:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0; 𝑎, 𝑏 > 0,

El número imaginario más conocido es  Euler lo representó por el símbolo 𝑖 que aún se usa en la literatura. Claramente, 𝑖 × 𝑖 =  = −1[pic 1][pic 2]

2 = −1.

Las leyes formales de operación para 𝑖 son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene:

[pic 3]

Los números complejos

La extensión de los números imaginarios conduce a los números complejos, que son de la forma

𝑎 + 𝑏𝑖; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; siendo ℝ el conjunto de los números reales.

El conjunto de los números complejos está definido de una manera rigurosa como:

ℂ = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑖 =  .[pic 4]

De esta definición es fácil ver que el conjunto de los números reales está contenido dentro de los

números complejos; es decir ℝ ⊂ ℂ.

Con esta instrucción rigurosa de los números complejos es suficiente para explorar cómo funcionan; es decir, explorar su aritmética.

Se iniciará con la pregunta siguiente ¿cuándo dos números complejos 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑐 + 𝑑𝑖 son iguales? Para

dar una respuesta adecuada a esta cuestión, notar que:

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⇒ (𝑎 − 𝑐 )= 𝑑( – 𝑏) 𝑖.

La única forma para que esta igualdad se cumpla es que:

𝑎 − 𝑐 = 0 y 𝑏 − 𝑑 = 0.

Ya que si no fuera así se tendría un número real es igual a un número imaginario, lo cual es imposible. De esta forma, la igualdad entre números complejos se define como:

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⇔ 𝑎 = 𝑐, 𝑏 = 𝑑.

Para poder explicar con palabras este resultado, se introducirán dos conceptos útiles: el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se puede dividir en dos partes, la parte real de 𝑧, 𝑅𝑒( 𝑧) = 𝑎, y la parte imaginaria de z, 𝐼𝑚 (𝑧) = 𝑏. En otras palabras, 𝑅𝑒( 𝑧) es el número real que “no está acompañado de la 𝑖” e 𝐼𝑚 (𝑧) es el número real que “está acompañado de la 𝑖”. De acuerdo a estas definiciones, la respuesta a la pregunta de cuándo dos números complejos son iguales es: dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también son iguales.

Las definiciones de parte real y parte imaginaria de un número complejo son muy útiles para definirotras operaciones entre estos números, tal como la suma (resta): la suma (resta) de dos númeroscomplejos es igual a la suma (resta) de sus partes reales más 𝑖 veces la suma (resta) de sus partesimaginarias. En símbolos:

(𝑎 + 𝑏𝑖) ±( 𝑐 + 𝑑𝑖) =( 𝑎 ± 𝑐) + (𝑐 ± 𝑑 )𝑖 .

Por ejemplo, si 𝑧1 = 5 + 6𝑖 y 𝑧2 = 3 + 8𝑖, son dos números complejos, entonces:

𝑧1 + 𝑧2 = 5 + 6𝑖 + 3 + 81 = 5 + 3 + 6 + 8 𝑖 = 8 + 14𝑖.

Si 𝑧1 = 2 − 3𝑖 y 𝑧2 = 1 − 4𝑖, entonces:

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