Diferenecicas Finitas
Enviado por dapardoh • 26 de Julio de 2013 • 5.431 Palabras (22 Páginas) • 334 Visitas
Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación
DIFERENCIAS FINITAS
Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre
El método de e las diferencias finitas sirve para aproximar la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, las cuales van por lo general acompañadas de
condiciones iniciales o de frontera.
Mediante un proceso de discretización, el conjunto infinito de números que representan la
función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de
parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación.
Entre las formas de discretización esta: el método de los elementos finitos, método de volúmenes
finitos, método de diferencias finitas (1-D, 2-D, 3-D, 4-D), etc.
DIFERENCIAS FINITAS EN 1-D (UNIDIMENSIONAL)
Si deseamos determinar la función 5(6) que satisface una ecuación diferencial en un dominio
determinado, junto a condiciones de iniciales del problema. Se tiene que empezar por
diferenciar la variable independiente 6, para después construir una grilla o malla, con puntos
discretos igualmente espaciados, sobre el dominio establecido. Después se debe reemplazar
aquellos términos en la ecuación diferencial que involucren diferenciación por términos que
contengan operaciones algebraicas. Este proceso trae implícito una aproximación y puede
efectuarse mediante la utilización de aproximación en diferencias finitas para las derivadas en
una función.
Aproximaciones de derivadas mediante diferencias finitas (o formulas de discretización)
Aproximación en diferencias hacia adelante o forward difference de la primera derivada de
una función:
;ó<=>?@ AB CD@EF@A@: 5G(6) ≈
5(6 + ℎ) − 5(6)
ℎ
L<<M<: L = O
ℎ
2
5GG(P)O ≤
ℎ
2
RS, TME RS = max
UVWVX
|5GG(6)|
Aproximación en diferencias hacia atrás o backward difference de la primera derivada de
una función:
;ó<=>?@ [B\<B]^D@: 5G(6) ≈
5(6) − 5(6 − ℎ)
ℎ
L<<M<: L = O
ℎ
2
5GG(_)O ≤
ℎ
2
RS, TME RS = max
UVWVX
|5GG(6)|
Aproximación de diferencia central o central difference de la primera derivada de una
función:
;ó<=>?@ `BEa<@A@: 5G(6) ≈
5(6 + ℎ) − 5(6 − ℎ)
2ℎ
L<<M<: L = b
ℎc
6
5GG′(f)b ≤
ℎc
6
Rc, TME Rc = max
UVWVX
|5GGG(6)|
Aproximación a la segunda derivada de una función:
;ó<=>?@ ]B\>EA@ AB<^D@A@: 5GG(6) ≈
5(6 + ℎ) − 25(6) + 5(6 − ℎ)
ℎc
L<<M<: L = b
ℎc
12
5gh(P)b ≤
ℎc
12
Ri, TME Ri = max
UVWVX
|5gh(6)|
Demostraciones:
Diferencias hacia adelante:
Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:
5(6 + ℎ) = 5(6) + ℎ5G(6) +
ℎc
2
5GG(P)
5(6 + ℎ) − 5(6)
ℎ
−
ℎ
2
5GG(P) = 5G(6)
5G(6) ≈
5(6 + ℎ) − 5(6)
ℎ
, L = O
ℎ
2
5GG(P)O
Diferencias hacia atrás:
Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:
5(6 − ℎ) = 5(6) − ℎ5G(6) +
ℎc
2
5GG(_)
5(6) − 5(6 − ℎ)
ℎ
+
ℎ
2
5GG(_) = 5G(6)
5G(6) ≈
5(6) − 5(6 − ℎ)
ℎ
, L = O
ℎ
2
5GG(_)O
Diferencia central:
Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden, para 6 + ℎ y 6 − ℎ:
(1) 5(6 + ℎ) = 5(6) + ℎ5G(6) +
ℎc
2
5GG(6) +
ℎi
6
5GGG(P)
(2) 5(6 − ℎ) = 5(6) − ℎ5G(6) +
ℎc
2
5GG(6) −
ℎi
6
5GGG(_)
Si restamos (1)-(2), se obtiene:
5(6 + ℎ) − 5(6 − ℎ) = 2ℎ5G(6) +
ℎi
6
j5GGG(P) + 5GGG(_)k
5(6 + ℎ) − 5(6 − ℎ)
2ℎ
−
ℎc
6
5GGG(f) = 5G(6)
5G(6) ≈
5(6 + ℎ) − 5(6 − ℎ)
2ℎ
, L = b
ℎc
6
5GG′(f)b
Diferencia para la segunda derivada:
Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden, para 6 + ℎ y 6 − ℎ:
(1) 5(6 + ℎ) = 5(6) + ℎ5G(6) +
ℎc
2
5GG(6) +
ℎi
6
5GGG(6) +
ℎl
24
5gh(P)
(2) 5(6 − ℎ) = 5(6) − ℎ5G(6) +
ℎc
2
5GG(6) −
ℎi
6
5GGG(6) +
ℎl
24
5gh(_)
Si sumamos (1) + (2), se obtiene:
5(6 + ℎ) + 5(6 − ℎ) = 25(6) + ℎc5GG(6) +
ℎl
24
(5gh(P) + 5gh(_))
5(6 + ℎ) − 25(6) + 5(6 − ℎ)
ℎc −
ℎc
12
5gh(f) = 5GG(6)
5GG(6) ≈
5(6 + ℎ) − 25(6) + 5(6 − ℎ)
ℎc , L = b
ℎc
12
5gh(f)b
Ejercicios:
1) Determine mS, mc B mi de: n
mG = m − 6 + 1, 6 o (0,1)
m(0) = 1; m(1) = 1 + B
r
Sol:
Se puede observar que esta ecuación diferencial es de primer orden, por lo que podemos usar
una de las discretizaciones para la primera derivada de una función.
Según los datos podemos hacer un bosquejo grafico, dándonos un espaciamiento de 0.25:
Se tomará la de Diferencias hacia adelante (o avanzada)
0 0.25 0.5 0.75 1
5G(6) ≈ u(Wvw)xu(W)
w , en nuestro caso es mG(6) ≈ y(Wvw)xy(W)
w
Ahora reemplazamos en la ecuación diferencial:
m(6 + ℎ) − m(6)
ℎ
= m(6) − 6 + 1
Ordenando términos queda:
m(6g + ℎ) − (1 + ℎ)m(6g) = ℎ(1 + 6g)
Se puede aproximar m(6g ± ℎ) ≈ mg±S, entonces:
mgvS − (1 + 0.25)mg = 0.25(1 − 6g)
Ahora planteamos las ecuaciones, según nuestra formula:
i=0 mS − 1.25m{ = 0.25(1 − 6{)
i=1 mc − 1.25mS
...