ECUACIONES

37. ¿Cuáles son las raíces de la ecuación y^3+5y^2-6y=0?

Procedimiento

Factorizando:

y^3+5y^2-6y=0

y(y^2+5y-6)=0

Busco dos números que sumados me den 5 y multiplicados den -6.

y(y+6)(y-1)=0

Si el producto de 3 números es igual a cero es porque los tres números son cero, entonces cada término es igualado a cero y se despeja la incógnita:

y=0

y+6=0

y=-6

y-1=0

y=1

38. La ecuación cuyas raíces son: x_1=4 y x_2=1 es:

Procedimiento

Sustituimos los valores que tenemos para x en las ecuaciones dadas, tiene que cumplir ambas para que sea la ecuación correcta:

a) x^2+5x-4=0

(1)^2+5(1)-4=1+5-4=2

〖b) x〗^2-5x-4=0

〖(1)〗^2-5(1)-4=1-5-4=-8

〖c) x〗^2-5x+4=0

(1)^2-5(1)+4=1-5+4=0

〖(4)〗^2-5(4)+4=16-20+4=0

39.La ecuación cuyas raíces son: x_1=-3/2 y x_2=1/4 es:

Procedimiento

Sustituimos los valores que tenemos para x en las ecuaciones dadas, tiene que cumplir ambas para que sea la ecuación correcta:

〖a) 8x〗^2-10x-3=0

〖8(1/4)〗^2-10(1/4)-3= 1/2-5/2-3=-5

〖b) 8x〗^2+10x+3=0

〖8(1/4)〗^2+10(1/4)+3=1/2+5/2+3=6

〖c) 8x〗^2+10x-3=0

〖8(1/4)〗^2+10(1/4)-3= 1/2+5/2-3=0

〖8(-3/2)〗^2+10(-3/2)-3=18-15-3=0

40.Una solución de la ecuación 5x^2+21x+4=0 es:

Procedimiento

Aplicaremos la fórmula general:

a=5;b=21;c=4

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-21±√(〖21〗^2-4(5)(4) ))/2(5) =(-21±√(441-80))/10=(-21±√361)/10=(-21±19)/10

Sustituimos los valores de a, b, c. Después usamos los dos valores de la raíz, positivo y negativo, para calcular las dos raíces de la ecuación:

x_1=(-21+19)/10=-2/10=-1/5

x_2=(-21-19)/10=-(-40)/10=-4

x_1=-1/5; x_2=-4

41. Al completar el trinomio cuadrado perfecto en 〖 x〗^2=-10x-16 se obtiene:

Procedimiento

Pasamos el valor independiente del lado derecho y buscamos que tenga la forma de trinomio cuadrado perfecto que es 〖(a±b)〗^2=a^2±2ab+b^2 del lado izquiedo, lo que aumentemos del lado derecho tenemos que agregarlo del lado izquierdo para que se cumpla la igualdad.

〖 x〗^2+10x+16=0

〖 x〗^2+10x=-16

〖 x〗^2+2(5)x+5^2=-16+5^2

〖 x〗^2+10x+25=-16+25

〖 x〗^2+10x+25=9

Factorizamos la expresión de trinomio cuadrado perfecto y nos queda:

〖(x+5)〗^2=9

42. Al resolver la ecuación 6x^2-7x=3 se obtiene:

Procedimiento

Igualamos a cero y usamos fórmula general:

6x^2-7x=3

6x^2-7x-3=0

Aplicaremos la fórmula general:

a=6;b=-7;c=-3

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-(-7)±√(〖(-7)〗^2-4(6)(-3) ))/2(6) =(7±√(49+72))/12=(7±√121)/12=(7±11)/12

Sustituimos los valores de a, b, c. Después usamos los dos valores de la raíz, positivo y negativo, para calcular las dos raíces de la ecuación:

x_1=(7+11)/12=18/12=3/2

x_2=(7-11)/12=-(-4)/12=-1/3

x_1=3/2; x_2=-1/3

43.Las raíces de la ecuación 16x^2-25=0 son:

Procedimiento

En esta ecuación solo tenemos una expresión con la incógnita por lo que se puede fácilmente despejar:

16x^2-25=0

16x^2=25

x^2=25/16

x=√(25/16)

x=±5/4

x_1=5/4; x_2=-5/4

44.¿Cuáles son las raíces de la ecuación 〖 x〗^3+9x^2+14x=0

Procedimiento

Factorizamos nuestra ecuación y nos queda que:

〖 x〗^3+9x^2+14x=0

〖 x( x〗^2+9x+14)=0

Buscamos dos números que sumados den 9 y multiplicados den 14.

x(x+7)(x+2)=0

Como el producto es igual a cero eso quiere decir que los tres números son igual a cero, igualamos los tres términos a cero y en caso de poder hacerlo despejamos el valor de x.

x=0

x+7=0

x=-7

x+2=0

x=-2

45. La ecuación cuyas raíces son: x_1=-4 y x_2=-7 es:

Procedimiento

Sustituimos los valores que tenemos para x en las ecuaciones dadas, tiene que cumplir ambas para que sea la ecuación correcta:

〖a) x〗^2-11x-28=0

(-4)^2-11(-4)-28=16+44-28=32

〖b) x〗^2+11x+28=0

(-4)^2+11(-4)+28=16-44+28=0

(-7)^2+11(-7)+28=49-77+28=0

46. La ecuación cuyas raíces son: x_1=4/5 y x_2=-1/2 es:

Procedimiento

Sustituimos los valores que tenemos para x en las ecuaciones dadas, tiene que cumplir ambas para que sea la ecuación correcta:

a) 10x^2-3x-4=0

〖10(4/5)〗^2-3(4/5)-4= 160/25-12/5-4=0

〖10(-1/2)〗^2-3(-1/2)-4= 5/2+3/2-4=0

47. Una solución de la ecuación 6x^2+x-2=0 es:

Procedimiento

Aplicaremos la fórmula general:

a=6;b=1;c=-2

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-1±√(1^2-4(6)(-2) ))/2(6) =(-1±√(1+48))/12=(-1±√49)/12=(-1±7)/12

Sustituimos los valores de a, b, c. Después usamos los dos valores de la raíz, positivo y negativo, para calcular las dos raíces de la ecuación:

x_1=(-1+7)/12=6/12=1/2

x_2=(-1-7)/12=-8/12=-2/3

x_1=1/2; x_2=-2/3

48. Al completar el trinomio cuadrado perfecto en x^2-x-20=0 se obtiene:

Procedimiento

Pasamos el valor independiente del lado derecho y buscamos que tenga la forma de trinomio cuadrado perfecto que es 〖(a±b)〗^2=a^2±2ab+b^2 del lado izquiedo, lo que aumentemos del lado derecho tenemos que agregarlo del lado izquierdo para que se cumpla la igualdad.

〖 x〗^2-x-20=0

〖 x〗^2-x=20

〖 x〗^2-2(1/2)x+(1/2)^2=20+(1/2)^2

〖 x〗^2-x+1/4=20+1/4

〖 x〗^2-x+1/4=81/4

Factorizamos la expresión de trinomio cuadrado perfecto y nos queda:

(x-1/2)^2=81/4

49. Al resolver la ecuación 8x^2-2x=3 se obtiene:

Procedimiento

Igualamos a cero y usamos fórmula general:

8x^2-2x=3

8x^2-2x-3=0

Aplicaremos la fórmula general:

a=8;b=-2;c=-3

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-(-2)±√(〖(-2)〗^2-4(8)(-3) ))/2(8) =(2±√(4+96))/16=(2±√100)/16=(2±10)/16

Sustituimos los valores de a, b, c. Después usamos los dos valores de la raíz, positivo y negativo, para calcular las dos raíces de la ecuación:

x_1=(2+10)/16=12/16=3/4

x_2=(2-10)/16=-(-8)/16=-1/2

x_1=3/4; x_2=-1/2

50. Las raíces de la ecuación 5x^2-10x=0 son:

Procedimiento

Esta ecuación es fácilmente factorizable:

5x^2-10x=0

5x(x-2)=0

Como el producto de ambos términos es igual a cero, eso quiere decir que ambos términos también son iguales a cero, igualamos a cero y despejamos

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