Ecuaciones Lineales

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a11x1 + a12x2 + .....................+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + .....................+a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + .....................+amnxn = bm

xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).

bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

aij y b i .

m, n ; m > n, ó, m = n, ó, m < n.

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas. Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t.

Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales

La solución de un sistema de ecuaciones lineales es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

Clasificación de sistemas de ecuaciones

Incompatible

No tiene solución.

Compatible

Tiene solución.

Compatible determinado

Solución única.

Compatible indeterminado

Infinitas soluciones.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede expresar en la forma

ax + by = c

donde a, b y c son números reales, y donde a y b no son ambas cero.

Ejemplo

Las siguientes ecuaciones son lineales:

3x - y = 4

4x = 0

Las siguientes ecuaciones no son lineales:

3x2 - y = 4

4xy = 0

Soluciones de sistemas de ecuaciones de dos incognitas

Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas x y y consiste en una pareja de números: un valor de x y un valor de y, que satisfacen la ecuación. En un sentido más amplio, una solución de un sistema de dos o más ecuaciones lineales es una solución que satisface a la vez todas las ecuaciones en el sistema.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamene, por dibujar las gráficas y determinar donde se cruzan, o algebráicamente, por combinar las ecuaciones para eliminar cada incógnita salvo que una, y entonces despejarla.

Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene:

(1) Una sola (única) solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas correspondientes no están paralelas, y entonces se cruzan en un solo punto.

(2) Ninguna solución. Ocurre este caso cuando las dos rectas son paralelas y distintas.

(3) Un número infinito de soluciones. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones representan la misma recta. En este caso, se represente las soluciones por designar una variable como arbitraria y despejar a la otra.

La matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales es la matriz cuyos renglones (o filas) son los coeficientes de las ecuaciones incluyendo los lados derechos.

Método de Sarrus

El método de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

Reduccion Gauss - Jordan

Las operaciones elementales de renglón son las siguientes:

1. Reemplazar Ri por aRi donde a es un número distinto de cero (En palabras: multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero).

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