Ecuaciones Lineales

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

CLAVE: IIND-2004-297

ALGEBRA LINEAL

DOCENTE: ING. FERNANDO LOERA RIVERA

ENSAYO

ECUACIONES LINEALES.

Elaborado por:

Rivera Soto José Alberto. 12040344

INGENIERIA INDUSTRIAL III Semestre

URUAPAN MICH. 23 de octubre 2013

INTRODUCCION

Mediante la presente investigación se busca dar a conocer que es un sistema de ecuaciones lineales y también presentar los subtemas que conlleva este en base a la unidad 3 y así también se explicaran cuales son que se comienza por la definición de lo que es un sistema de ecuaciones lineales ya que se menciona la definición de lo que es una ecuación lineal se pasara al siguiente subtema que es clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. En realidad, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es decir, atendiendo a diversas propiedades de los mismos. .

también se mencionaran los diferentes métodos de soluciones para el sistema de ecuaciones lineales los cuales serán el de Gauss, Gauss-Jordan, Inversa de una matriz y la Regla de Cramer y así con esto se espera saber los métodos y como resolver una ecuación lineal con lo investigado a continuación.

DESARROLLO

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Una gran parte de la teoría de algebra lineal elemental es, de hecho, una generalización de las propiedades de la line recta. En el sistema cartesiano las ecuaciones de primer grado representan rectas.

Las ecuaciones en las que aparece el término X Y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.

Después se pasa a la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. En realidad, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es decir, atendiendo a diversas propiedades de los mismos. Por ejemplo, se pueden clasificar según el grado de las ecuaciones. Tendríamos entonces:

* Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales.

* Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales.

De estos dos tipos de sistemas, nosotros estamos tratando en esta Unidad son los sistemas lineales.

Por otro lado, también se pueden clasificar los sistemas según el número de ecuaciones o de incógnitas que tengan, es decir, podríamos hablar entonces de:

* Sistemas de dos ecuaciones.

* Sistemas de tres ecuaciones.

* etc. . . . .

O bien de:

* Sistemas de una incógnita.

* Sistemas de dos incógnitas.

* Sistemas de tres incógnitas.

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de una o mas ecuaciones lineales que involucran las mismas variables y también el conjunto de todas soluciones se llama conjunto solución del sistema lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

La interpretación geométrica de las soluciones, es como cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los cuales son:

.- un punto único. Sistema de compatible determinado. Los tres planos se cortan en P

.- Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en r

.- un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado en dos grados de libertad.

.- Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se representa geométricamente en distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.

.- Se pueden representar varios casos: que los planos sean paralelos

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales como existen varios los cuales son algunos Gauss, Gauss-Jordan, Inversa de una matriz y regla de Cramer.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS-JORDAN

Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas.

El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método.

Partimos, inicialmente, de un sistema de n ecuaciones lineales

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