Ecuaciones

Ecuaciones

Una ecuación es un enunciado en el que se establece que dos expresiones matemáticas donde en al menos una de ellas posee una o más incógnitas son iguales. Como por ejemplos:

y

La primera ecuación posee una incógnita y la segunda tres. Una ecuación puede tener o no solución. En el caso que la tenga puede tener una o más soluciones.

La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en el álgebra contiene incógnitas, las cuales son símbolos, casi siempre letras que representan números. Como por ejemplo en la ecuación

la letra es la variable. Consideramos que la es la incógnita de la ecuación, por lo que el objetivo es determinar el valor numérico de que hace que la ecuación sea cierta. Los valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación, y el proceso para determinar las soluciones se llaman resolución de una ecuación.

Propiedades de la igualdad

Sean expresiones algebraicas, entonces:

a)

b) Si ,

Estas propiedades requieren que se efectúe la misma operación en ambos lados de una ecuación cuando la resuelve.

1.1) Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

Una ecuación lineal de primer grado con una incógnita puede expresarse de la forma con y , números reales y la variable.

Si entonces la ecuación tiene exactamente una solución: .

Si y la ecuación no tiene solución.

Ejemplos

1. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones

a)

Para resolver esta ecuación se desea encontrar el valor de la incógnita ( ), por lo que se le suma, a ambos miembros de la igualdad, y se obtiene:

En este caso y por lo tanto

Para verificar si el resultado es correcto, se sustituye el valor de obtenido, en la ecuación original

Entonces el valor de es correcto.

Otra forma de resolver este tipo de ecuaciones es despejando la

b)

Para despejar la (dejarla sola)

Primero sume a ambos miembros de la igualdad:

Luego, se multiplica a ambos lados de la igualdad por el inverso de 3 que es y se obtiene:

Nota: este método es el más utilizado

Intente resolver esta ecuación con el método usado en el ejemplo a)

c)

En los siguientes ejemplos se presentan ecuaciones de este tipo pero donde aparecen signos de agrupación.

d)

En este caso primeros eliminamos todos los signos de agrupación:

Agrupamos términos semejantes de un lado de la igualdad y realizamos las operaciones correspondientes:

Multiplicamos por el inverso de que es a ambos lados de la igualdad y obtenemos:

e)

f)

g) con

Se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que es , entonces obtenemos:

h)

Se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que es , entonces obtenemos:

i)

Factorizando , entonces tenemos que el mínimo común múltiplo de los denominadores es: , ahora si multiplicamos dicho mínimo por toda la ecuación obtenemos:

Ahora si sustituimos el valor de obtenido, en la ecuación original, observamos que en el segundo y tercer termino del lado izquierdo de la igualdad estamos dividiendo entre 0, por lo tanto no puede ser solución de la ecuación

Ejercicios.

1) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

2) Resuelva la ecuación para la variable indicada

a)

b)

c)

d)

e)

f)

1.2) Problemas con ecuaciones de primer grado

Con una incógnita: para resolver un problema mediante ecuaciones, se debe tomar en cuenta los siguientes pasos:

a) Comprender el problema

b) Plantear la ecuación

c) Resolver la ecuación

d) Comprender la solución

La siguiente tabla muestra como se traduce el lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico

Enunciado Expresión algebraica

Cantidad desconocida

La semi suma de dos números naturales

Un número par

Un número impar ó

La suma de tres números pares consecutivos

La suma de tres números impares consecutivos

El producto de dos números aumentado en 1

Un número que es el triple de otro

Mi edad actual más la que tendré dentro de cinco años

La cuarta parte de un número más el doble del mismo

La suma de dos números elevados al cuadrados

El cuadrado de una suma

El producto de la suma de dos números por su diferencia

Números consecutivos

Ejemplo:

La suma de tres números naturales consecutivos es 93. ¿Cuáles son estos números naturales?

Supongamos que se le asigna la letra al menor de los tres números. Ahora si es el menor de los tres números, entonces los otros dos números serian , entonces la ecuación es:

Por lo tanto los números consecutivos son: y

Ejercicios.

1) Luis tiene años y Juan años. ¿Dentro de cuantos

...