Guia teorica espacio vectorial

MATEMATICAS III. ESPACIO VECTORIAL

Espacio Vectorial: R3 como un Espacio Vectorial.

Nociones básicas:

1. Dados dos puntos P(p1,p2,p3) y Q(q1,q2,q3)son puntos del espacio  3, el segmento orientado  tiene por punto inicial a P y por punto final a Q y denotamos su longitud mediante:          .[pic 1][pic 2][pic 3]
2. Dos segmentos orientados de la misma longitud se llama equivalentes.
3. El conjunto de todos los segmentos orientados que son equivalentes a uno dado lo llamamos vector del espacio y lo escribimos .[pic 4]
4. Componente de un vector: si  es un vector en el espacio cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es , entonces el vector en forma de componente viene dado por: .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]
5. El vector  tiene como punto inicial y final el mismo punto .[pic 9][pic 10]
6. Dado dos vectores ;  se dice que son iguales si y solo si: . Si dado los dos vectores ;  pertenecientes a  3; α pertenece a  (α: escalar), se define:[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

1. El vector suma: [pic 18]
2. El producto de un escalar por un vector: .[pic 19]

Espacio Vectorial. Def.: Un Espacio Vectorial , es un conjunto de objetos llamados vectores junto con dos operadores llamados suma y multiplicación por un escalar que satisfacen ciertas propiedades:[pic 20]

1. Si  y , entonces  (V es cerrado para la suma).[pic 21][pic 22][pic 23]
2. , entonces  (ley asociativa).[pic 24][pic 25]
3. Si , entonces  (ley conmutativa).[pic 26][pic 27]
4. Existe un vector  en V tal que ,  (elemento neutro).[pic 28][pic 29][pic 30]
5. Si , existe un vector ; tal que  (existencia del elemento inverso).[pic 31][pic 32][pic 33]
6. Si ; y α es un escalar, α (V es cerrado para la multiplicación).[pic 34][pic 35]
7. Si  y si α es un escalar, entonces: α (primera ley distributiva).[pic 36][pic 37]
8. Si ; y si α y β son escalares, entonces: (segunda ley distributiva).[pic 38][pic 39]
9. Si ; y si α y β son escalares, entonces: (ley asociativa de la multiplicación por escalar).[pic 40][pic 41]
10. , (al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).[pic 42][pic 43]

Combinación Lineal: Sea  una familia o conjunto de vectores del espacio vectorial (), entendemos por Combinación Lineal de la familia de  toda suma de productos escalares arbitrarios de  por los vectores de , esto es; ;  y .[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

Si el vector  (conjunto de vectores del espacio vectorial) es Combinación Lineal de la familia  si y solo si existen escalares  tal que .[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

Dependencia E Independencia Vectorial: Sean  un conjunto de vectores en un espacio vectorial , decimos que el conjunto es Linealmente Independiente si y solo si la única combinación lineal da como resultado el vector nulo, . Esto quiere decir que existen escalares  perteneciente a , tal que:  donde los , esto es: , , . Si algunos de los escalares da como resultado diferente de cero esto quiere decir que el conjunto es Linealmente Dependiente; cuando todos los  son iguales a cero es Linealmente Independiente.[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

Nota: Los vectores básicos son Linealmente Independiente. Estos vectores son: .[pic 67]

Criterio para determinar si tres vectores pertenecientes a  3 son Linealmente Independiente o Linealmente Dependiente: Dado tres vectores ; ; , se tiene la matriz:[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

[pic 72]

Entonces los vectores  son:[pic 73]

1. Linealmente Independiente si y solo si el DetA es diferente de cero.
2. Linealmente Dependiente si y solo si el DetA es igual a cero.

Base de un Espacio Vectorial: Sea  un espacio vectorial y , un conjunto Linealmente Independiente, diremos que  es una Base para , si todo vector en  puede escribirse de manera única como combinación lineal de los vectores de . Los vectores  es una base para R3.[pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

Nota: Coordenadas de un vector en una base dada: , donde .[pic 81][pic 82]

Dimensión de Espacio Vectorial: Un espacio vectorial es de dimensión N si tiene una base de N vectores que son Linealmente Independiente.

PRODUCTO ESCALAR (PUNTO O INTERNO) CON LA NORMA EUCLIDIANA: Def.: El producto canónico entre dos vectores de  3 se define de la siguiente manera, si  y , entonces: .[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

Propiedades del Producto Escalar: Sean  vectores en un espacio vectorial y α es un escalar en :[pic 87][pic 88]

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