Investigación De Operaciones

PREGUNTAS:

Se busca diseñar una dieta óptima diaria a partir de dos alimentos, que llamaremos A y B. El coste de una ración es de $2,5 para el alimento A y de $3 para el alimento B. La dieta diaria ha de satisfacer las necesidades nutricionales de cinco nutrientes, a los que nos referiremos como “el nutriente i”, para i = 1,…, 5. La siguiente tabla contiene datos que indican la cantidad de cada nutriente por ración de cada alimento, así como la cantidad diaria recomendada (CDR) de cada nutriente. Por ejemplo, una ración de alimento A contiene 2 unidades del nutriente 1, 1 unidad del nutriente 2, 4 unidades del nutriente 3, 2 unidades del nutriente 4, y 3 unidades del nutriente 5; además, la dieta diaria requiere al menos 3 unidades del nutriente 1.

Alimento A Alimento B CDR

Nutriente 1 2 2 ≥ 3

Nutriente 2 1 3 ≥ 5

Nutriente 3 4 2 ≥ 2

Nutriente 4 2 4 ≥ 5

Nutriente 5 3 3 ≥ 6

Coste ($/ración) 2,5 3

Formula como un PL el problema de diseñar una dieta diaria (que indique cuántas raciones se ha de consumir de cada alimento) de coste mínimo que satisfaga las necesidades nutricionales diarias.

En el problema las variables de decisión son:

A: Raciones a consumir del alimento A

B: Raciones a consumir del alimento B

El problema consiste en minimizar el costo a partir de la cantidad diaria recomendada de determinados nutrientes para los alimentos A y B, lo cual constituye una dieta diaria a consumir, donde los costos son de $ 2.5 para cada ración del alimento A y $ 3 para el alimento B.

El programa lineal sería:

Min Z = 2.5 A + 3 B

Sujeto a:

2A + 2B ≥ 3

1A + 3B ≥ 5

4A + 2B ≥ 2

2A + 4B ≥ 5

3A + 3B ≥ 6

Dibuja la región factible de dicho PL, y calcula sus vértices. ¿Es acotada la región factible?

Trazando cada una de las restricciones en el plano cartesiano, teniendo al alimento A en el eje de las abscisas y el alimento B en el eje de las ordenas:

Se observa que la región factible está limitada por la intersección de las rectas correspondientes a los Nutrientes 2 y 5, los vértices son los puntos (0,2) y (0.5,1.5).

Dibuja una recta de nivel del objetivo, e indica en qué dirección disminuye su valor.

La función objetiva es: Z = 2.5 A + 3 B

Es decir, ordenando: B = Z/3 – 0.83 * A

La cual es la ecuación de una recta con pendiente negativa e intercepto en el punto Z/3. Ahora bien, este intercepto corresponde al costo mínimo dividido entre 3. Gráficamente:

Se observa que la recta de la función objetivo disminuye su valor de manera proporcional a su pendiente (0.83).

Determina una solución óptima mediante el método gráfico, y calcula el coste de la dieta óptima. Indica cuáles son las restricciones críticas.

Observando los dos gráficos anteriores, se puede verificar que, como ambos alimentos deben estar incluidos en la dieta, el punto donde se minimiza es la intercepción de las restricciones 2 y 5, las cuales son críticas para minimizar el costo. Así, la función objetivo será tangente a esta intercepción, por tanto en las dos restricciones:

Restricción 2: A + 3B ≥ 5

Restricción 5: 3A + 3B ≥ 6

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, para hallar el intercepto:

De: A + 3B = 5 A = 5 – 3B, reemplazando en la restricción 5:

3(5 – 3B) + 3B = 6

 B* = 1.5

Reemplazando:

 A* = 0.5

Los puntos que minimizan la función objetivo son (A*, B*) = (0.5, 1.5), el costo mínimo será:

Z* = 2.5 * 0.5 + 3 * 1.5 = 5.75

Por lo tanto, la dieta óptima diaria tendrá 0.5 raciones del alimento A y 1.5 raciones del alimento B, lo cual tendrá un costo de S/. 5.75.

RESUELVA EL PROBLEMA (1) MEDIANTE EL MÉTODO SIMPLEX.

Realice una revisión bibliográfica para aplicar simplex en un problema de minimización.Puede utilizar el software gratuito WINQSB que es posible descargar en:http://winqsb.softonic.com/

El método simplex prevé un sistema rápido y efectivo para resolver problemas de programación lineal. Es la técnica empleada en las aplicaciones prácticas y permite resolver una gran cantidad de problemas de real importancia industrial.

Este método llega a la solución óptima por medio de iteraciones o pasos sucesivos, utilizando los conceptos básicos del álgebra matricial, para determinar la intersección de dos o más líneas hiperplanas. Comienza con alguna solución factible y sucesivamente obtiene soluciones en las intersecciones que ofrecen mejores funciones de la función objetivo. Este método proporciona un indicador que determina el punto en el cual se logra la solución óptima.

El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex. Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= "

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