Método de los Mínimos Cuadrados

Método de los Mínimos Cuadrados

Principio de mínimos cuadrados

A diferencia de las observaciones directas, en el presente caso se van a tomar como datos de campo o laboratorio un conjunto de pares ordenados (x; y).

Lo que se busca es obtener una función y=f(x) que se ajuste lo mejor posible a los valores experimentales; se pueden ensayar muchas funciones: rectas, polinomios, funciones potenciales o logarítmicas, etc.

Una vez determinado la mejor función, se procede a calcular sus parámetros que, en el caso de un polinomio estas serían sus coeficientes.

Ejemplo 1

Suponiendo que se han obtenido los siguientes datos de campo, observados bajo la misma condición.

Sabiendo que la función que mejor se ajusta a dichos pares es una recta: y +ax+b=0.

El problema queda resuelto al calcular los parámetros a y b.

• Ubicando los pares ordenados en un sistema de coordenadas rectangulares.

                                     [pic 1]

La recta que mejor podría ajustar es:  y=2x

                                    [pic 2]

Podremos observar que los puntos presentados no pasan todos por la misma recta. Esto es debido a los errores accidentales de las medidas, por lo que los puntos se distribuyen de forma más o menos aleatoria en torno a esta recta; a pesar de ello es claramente visible la tendencia lineal de los puntos.

[pic 3]

Para un valor x determinado, la recta de ajuste proporciona un valor diferente de “y” del medido (Ԑi), esta diferencia será positiva para algunos puntos y negativa para otros puesto que ellos se disponen alrededor de la recta.

Para infinitas mediciones:   Ԑ1+ Ԑ2+………… + Ԑn = 0

Para “n” mediciones:  Ԑ1+ Ԑ2+………… + Ԑn = mínimo

Es decir:             y1 + ax1 +b = Ԑ1

                                Y2 + ax2 +b = Ԑ2

                           yn + axn +b = Ԑn

Tenemos dos incógnitas (a y b) con n ecuaciones. Para efectos de aplicar el método de mínimos cuadrados, la recta que mejor se ajusta será la que cumpla la siguiente expresión:

[pic 4]

Esto induce a que las derivadas parciales de Ø respecto “a” y “b” sean cero.

•  = 0[pic 5]

x1(y1 + ax1 +b) + x2(y2 + ax2 +b) + ……….. + xn(yn + axn +b) = 0 ……………………………….(1)

•  = 0[pic 6]

(y1 + ax1 +b) + (y2 + ax2 +b) + ………… + (yn + axn +b) = 0 ……………………………..(2)

• Haciendo:      [pic 7]

• Reemplazando (1) y (2), se obtiene las llamadas Ecuaciones Normales:

      [pic 8][pic 9]

Lo cual equivale a:

                          = [pic 10][pic 11][pic 12]

En el presente caso:

                                      = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55[pic 13]

                                      = 1x2 + 2x4.2 + 3x5.8 + 4x8.3 + 5x9.6 = 109[pic 14]

                                       = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15[pic 15]

                                       = 2 + 4.2 + 5.8 + 8.3 + 9.6 = 29.9[pic 16]

Luego:                  

                                = = [pic 17][pic 18][pic 19]

De donde:  a = -1.93    y    b = -0.19

Finalmente: y + (-1.93)x + (-0.19) = 0

[pic 20][pic 21]

[pic 22]

Ilustrando:

                                                       [pic 23]

[pic 24]

Ejemplo 2

Tomando en cuenta los datos del ejemplo 1; y asumiendo que la curva que mejor se ajusta es:

y + ax2 + bx + c = 0

Se pide determinar los coeficientes a; b y c utilizando el método de mínimos cuadrados.

• Analizando el caso de “n” observaciones.

y1+ ax12 + bx1 + c = Ԑ1

y2+ ax22 + bx2 + c = Ԑ2

yn+ axn2 + bxn + c = Ԑn

Se tiene tres incógnitas (a; b y c) con “n” ecuaciones.

Donde:       [pic 25]

 = 0[pic 26]

x12(y1 + ax12 +bx1 + c) + x22(y2 + ax22 +bx2 + c) + ………….. + xn2(yn + axn2 +bxn + c) = 0

(2)   = 0[pic 27]

x1(y1 + ax12 +bx1 + c) + x2(y2 + ax22 +bx2 + c) + ……………. + xn(yn + axn2 +bxn + c) = 0

(3)  = 0[pic 28]

(y1 + ax12 +bx1 + c) + (y2 + ax22 +bx2 + c) + ………………. + (yn + axn2 +bxn + c) = 0

...