MODELACION MATEMATICA

MODELO, MODELACIÓN Y MODELAJE:

MÉTODOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS

1. INTRODUCCIÓN

El modelaje matemático, esencia de nuestro trabajo de investigación, nos ha llevado en los últimos doce años, a resultados significativos para mejorar la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Los resultados han sido contrastados a partir de trabajos experimentales que iniciamos en 1986 con un grupo de alumnos de quinta serie del primer grado de la red oficial brasileña de enseñanza. Posteriormente los extendimos a otros grupos de primer a tercer grado y adquirieron consistencia a través de un cuidadoso estudio en la bibliografía disponible sobre teorías de la enseñanza-aprendizaje.

En efecto, lo que nos motivó a extender estos resultados a comunidades de educadores matemáticos, convirtiéndolos actualmente en objeto central de nuestra investigación, fue el número de actividades de las cuales participamos por invitación de simpatizantes de nuestra propuesta.

Maria Salett Biembengut / Nelson Hein

Departamento de Matemática - CCEN Universidade Regional de Blumenau - Brasil

En estas actividades, ya fuese a través de conferencias, cursos de extensión o cursos de especialización, tuvimos la oportunidad de estar con profesores de las más diversas regiones del país y del exterior. Independientemente de la región, de las condiciones socio-económicas y culturales en que viven, la mayoría de estos profesores participantes nos demostraron sus preocupaciones en relación a la poca motivación de sus alumnos en lo que se refiere al aprendizaje de la matemática. Es decir que asumieron, de forma explícita o implícita sus dificultades en responder “los porqués” de enseñar este o aquel contenido.

Estos encuentros nos permitieron identificar necesidades emergentes, supliendo lagunas de nuestra propuesta. Ésta era resultado de los trabajos experimentales hasta entonces realizados. La problemática identificada nos llevó a proponer acciones graduales para conseguir mejorías en la enseñanza-aprendizaje de matemáticas, respetando las condiciones estructurales de los educadores.

En este trabajo, presentamos una síntesis sobre lo que es “Modelo y Modelaje Matemático” y “Modelos, Modelación y Modelaje en el proceso de la enseñanza-aprendizaje de Matemáticas”.

2. MODELOS Y MODELAJE 2.1. Modelo Matemático

Muchas situaciones del mundo real pueden presentar problemas que requieran soluciones y decisiones. Algunos de estos problemas tienen un aspecto matemático relativamente simple, e involucran una matemática elemental, como por ejemplo:

• El tiempo necesario para recorrer una distancia de 40 kilómetros, manteniendo la velocidad promedio del

vehículo a 80 kilómetros por hora;

• El interés que cobra una institución financiera por un determinado préstamo;

• El área de un terreno de forma rectangular con las respectivas medidas: 12m×25m.

Otros, “camuflados” en una determinada área del conocimiento, necesitan un análisis más preciso de las variables involucradas, tales como:

• la mejor manera para reducir el “retrabajo” en una fábrica;

• la cantidad permitida y el período apropriado para la caza de un animal predador sin que esto interfiera en el ecosistema.

Sea cual sea el caso, la solución de un problema requiere una formulación matemática detallada.

Al conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que traducen, de alguna manera, un fenómeno en

cuestión o un problema realista, lo denominamos Modelo Matemático.

En la ciencia, la noción de modelo es fundamental para la constitución y expresión del conocimiento. En

especial, la matemática, con su arquitectura, permite la elaboración de modelos matemáticos, lo que posibilita una mejor compresión, simulación y previsión del fenómeno estudiado.

Un modelo puede ser formulado en términos familiares, tales como: expresiones numéricas o fórmulas, diagramas, gráficos o representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas, tablas, programas computacionales, etc.

Por otro lado, cuando se propone un modelo, éste proviene de aproximaciones realizadas para poder entender mejor un fenómeno.Sin embargo, no siempre tales aproximaciones están de acuerdo con la realidad. Sea como sea, un modelo matemático retrata, aunque con una visión simplificada, aspectos de la situación investigada.

2.2. Modelaje Matemático

Modelaje Matemático es el proceso involucrado en la obtención de un modelo. Este proceso, desde cierto punto de vista, puede ser considerado artístico, ya que para elaborar un modelo, además del conocimiento matemático, el modelador debe tener una dosis significativa de intuición-creatividad para interpretar el contexto, discernir qué contenido matemático se adapta mejor y tener sentido lúdico para jugar con las variables involucradas. El modelador debe ser un artista al formular, resolver y elaborar expresiones que sirvan no sólo para una solución particular, sino también, posteriormente, como soporte para otras aplicaciones y teorías.

A grosso modo, podríamos decir que matemáticas y realidad son dos conjuntos disjuntos y el modelaje es un medio de conjugarlos. El siguiente esquema representa esta propuesta:

MODELAJE MATEMÁTICO

figura1: Esquema del proceso

Actualmente, este proceso se utiliza en toda ciencia, de modo que contribuye en forma especial en la evolución del conocimiento humano. Sabemos que la matemática se está usando en los fenómenos microscópicos en tecnobiología, y también en los macroscópicos cuando se pretende conquistar el universo. El modelaje matemático, ciertamente, no es una idea nueva. Su esencia siempre estuvo presente en la creación de las teorías científicas y, en especial, en la creación de las teorías matemáticas. A inicios del siglo XX fue muy utilizada en la solución de problemas de biología y economía. Durante la Segunda Guerra Mundial, intentos de resolver cuestiones de defensa y ataque, propiciaron el desarrollo de otra rama de la matemática : la investigación operativa , que posee, hoy en día, extensa aplicación en la industria.

Representar una situación “real” con “instrumental” matemático - modelo matemático - involucra una serie de procedimientos. Identificamos el proceso en tres etapas, divididas en cinco subetapas, a saber:

1a) Interacción con el asunto

(i) Reconocimiento de la situación problema;

(ii) Familiarización con el asunto que va a ser modelo-investigación. 2a) Contrucción matemática

Situación Real

Matemática

MODELO

(i) Formulación del problema-hipótesis;

(ii) Resolución del problema

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